Семинар 5. Моделирование линейных звеньев

Тема занятия: Моделирование линейных звеньев
Цели занятия:
освоить построение основных характеристик непрерывных и дискретных линейных звеньев в MATLAB;
научиться применять метод билинейного преобразования;
научиться реализовывать дискретные линейные звенья в MATLAB.

Преобразование сигналов
Любое обрабатывающее радиосигнал устройство может быть представлено как совокупность линейных и нелинейных звеньев
Формально отличие в дифференциальных уравнениях
(м.б. линейные / нелинейные):
Но важно следствие:
при действии суммы сигналов отклик звена есть суперпозиция откликов на каждое воздействие в отдельности:
p-n-p

Коэффициент передачи
Линейное звено описывается дифференциальным уравнением:
Нам достаточно научиться его решать для воздействия
а потом воспользоваться преобразованием Фурье и линейностью
Решение лежит на поверхности -
откуда

Коэффициент передачи
Нетрудно заметить, что в этом случае
Да это же не только комплексная амплитуда, но ещё и
коэффициент передачи (transfer function)!
Сделаем замену:
Благодаря линейности для сигналов с произвольным спектром имеем

Коэффициент передачи
clear all; clc; close all;
RC = 1e-6;
a = [RC 1];
b = [1];
freqs(b, a);
В MATLAB есть функции
для работы с линейными
звеньями

Коэффициент передачи
clear all; clc; close all;
RC = 1e-6;
a = [RC 1]; b = [1];
Fs = 100; Fmax = 4e5; f = 0:Fs:Fmax;
H = freqs(b, a, 2*pi*f);
figure(1); subplot(2,1,1);
plot(f/1e6, 20*log10(abs(H)));
subplot(2,1,2);
plot(f/1e6, rad2deg(unwrap(angle(H))));

Функция unwrap

Импульсная характеристика (ИХ)
А можно и через преобразование Лапласа:
Умножению в частотной области соответствует свертка во временной
Для нашей RC-цепи и П-импульса:
Обратно:
Это интегрирование по линии, параллельной мнимой оси.
Выбором сигмы все особенности подынтегральной функции
оставляют слева от контура интегрирования.

Импульсная характеристика
Для построения импульсной характеристики можно воспользоваться функциями Сontrol System Toolbox
RC = 1e-6; a = [RC 1]; b = [1];
sys = tf(b,a);
[y,t] = impulse(sys); % Без ‘[y, t] =‘
% сразу построит график
figure(1); plot(t, y);
xlabel('t, s'); ylabel('h(t)');
grid on

Нули и полюсы
Функцию передачи можно представить в виде
здесь
– коэффициент усиления,
– нули,
– полюсы
pzmap();
[z,p,k] = tf2zp(b,a)
Прямое преобразование функции передачи в нули и полюсы:

pzmap();
Нули и полюсы
устойчивость

Цифровые фильтры
Всё это здорово, наглядно и удобно описывает аналоговые системы, но нам же нужно уметь их моделировать – получать отклик на сигнал
Нужна модель, для которой это приближенное равенство выполняется как можно точнее
И входные, и выходные сигналы в машине мы представляем в виде дискретных последовательностей:
Да это же задача синтеза цифрового фильтра по аналоговому прототипу!

Импульсная характеристика
Т.к. система линейна, то может описываться только уравнением вида:
Непрерывные линейные системы характеризуются
импульсной характеристикой – откликом на дельта-функцию.
Для дискретной системы можем найти отклик на единичный импульс:
– ФНЧ
clear all; close all; clc
x = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
km = 1:length(x);
for k = km
if k > 1
y(k) = 0.7*y(k-1) + 0.3*x(k);
else
y(k) = 0.3*x(k);
end
end
figure(1);
stem(km, y)

impz(…)
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
h = impz(b, a, 15);
figure(1); stem(h);
xlabel('k'); ylabel('h_k'); grid on

Transfer function
Вспоминаем РЦС, z-преобразование и его свойства:
Или из уравнения:
Связь с преобразованием Фурье:

Transfer function
clear all; close all; clc
a = [-0.7]; b = [0.3];
xр = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
km = 1:length(x);
for k = km
if k > 1
h(k) = -a(1)*h(k-1) + b(1)*xh(k);
else
h(k) = b(1)*xh(k);
end
end
T = 0.001; f = 0:(1/T/100):(1/T);
z = exp(1i*2*pi*f*T);
H2 = 0;
for k = km
H2 = H2 + h(k) * z.^-k;
end
H1 = 0.3 ./ (1 - 0.7 * z.^-1);
figure(1); plot(f, abs(H1), f, abs(H2), '*')
xlabel('f, Hz'); ylabel('|H|'); grid('on');

freqz(…)
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
H = freqz(b, a);
T = 0.001;
f = ( (1:length(H)) - 1)/ length(H)*1/T/2 ;
figure(1); plot(f, abs(H));
ylabel('|H|'); grid on; xlabel('f, Hz');

filter(…)
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
x = [0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0];
y = filter(b, a, x);
figure(1)
stem(1:length(y), y); hold on
stem(1:length(x), x, 'r'); hold off
grid on; legend('y', 'x'); xlabel('k')

Нули и полюсы
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
[z, p, k] = tf2zp(b, a);
% zplane(b, a);
zplane(z, p);
устойчивость
Коэффициенты ПФ – строки,
нули/полюсы - столбцы
TF2ZP ();

Метод билинейного преобразования
Поделим на
Да это же пачки интеграторов!

Метод билинейного преобразования
А давайте аналоговый интегратор заменим цифровым!
Интегрировать будем методом трапеций:
Итого, в качестве s должны использовать:
Это преобразование и называется билинейным

Метод билинейного преобразования
Полуплоскость переменной s отображается в окружность единичного радиуса в плоскости переменной z
Есть явление деформации оси частот
Можно заранее скомпенсировать
в аналоговом прототипе

Метод билинейного преобразования
Пример. Смоделируем RC цепь, что использовали ранее.
clear all; clc; close all;
RC = 1e-6;
T = RC/3;
as = [RC 1]; bs = [1];
[Hs, w] = freqs(bs, as);
az = [1+2*RC/T, 1-2*RC/T]; bz = [1, 1];
Hz = freqz(bz, az);
figure(1)
plot(w/2/pi/1000, abs(Hs), ...
((1:length(Hz)) - 1)/ length(Hz) * 1/T/2/1000, abs(Hz))
xlabel('f, kHz'); ylabel('|H|')
legend('|H(s)|', '|H(z)|'); grid on

Билинейное преобразование - функция bilinear();

Практическая сторона дела
Задача 5.1
Постановка задачи:
В рамках лабораторной работы №1 проводилось моделирование участка электрической цепи.
При моделировании цепь заменяется ближайшей линейной, если исходная цепь содержит нелинейные элементы.
Требуется:
1. найти характеристики аналогового звена:
- коэффициенты функции передачи (записав дифференциальное уравнение цепи или передаточную функцию);
- АЧХ и ФЧХ - функции freqs(), unwrap();
- импульсную характеристику (ИХ) - функция impulse();
- карту нулей и полюсов - функции tf2zp(), pzmap();
- найти коэффициенты функции передачи дискретного аналога рассматриваемого звена с помощью билинейного преобразования - функция bilinear();

Практическая сторона дела
Задача 5.1
Постановка задачи (продолжение):
Требуется:
2. найти характеристики дискретного фильтра, полученного методом билинейного преобразования:
- АЧХ и ФЧХ - функция freqz(), unwrap();
- импульсную характеристику - функция impz(),
- карту нулей и полюсов - функции tf2zp(), zplane();
- получить отклик на гармоническое воздействие и воздействие в виде белого гауссовского шума для дискретного аналога, полученного методом билинейного преобразования - функция filter();
3. сравнить полученные характеристики и процессы с результатами лабораторной работы №1.

Практическая сторона дела
Программа «PR5.m»
clear all; clc; close all;
tstart = tic(); % начало отсчета работы программы
RC = 1e-6;
wmax = 1/RC * 2*pi * 10;
dw = wmax / 100;
w = 0:dw:wmax;
a = [RC 1]; % [a1 a0]
b = [1]; % [b0]
% Находим передаточную функцию (ПФ), строим АЧХ/ФЧХ
figure(1)
freqs(b, a, w) % Вывести АЧХ / ФЧХ, приняв по оси частот w
H = freqs(b, a, w); % Посчитать ПФ, но график не выводить

Практическая сторона дела
Продолжение программы «PR5.m»
figure(2)
subplot(2, 1, 1)
semilogy(w/2/pi/1e6, abs(H));
xlabel('f, MHz'); ylabel('|H|')
subplot(2, 1, 2);
plot(w/2/pi/1e6, unwrap(angle(H)));
xlabel('f, MHz'); ylabel('arg H')
% Находим импульсную характеристику (ИХ)
sys = tf(b,a);
[y,t] = impulse(sys);
figure(3)
plot(t, y); xlabel('t, sec'); ylabel('h(t)')
figure (4);
pzmap(sys);

Практическая сторона дела
Продолжение программы «PR5.m»
% Находим цифровой аналог
Fs = 2 * wmax / 2/pi;
[bz, az] = bilinear(b, a, Fs);
[Hz, wz] = freqz(bz, az);
figure (5);
plot(Fs*wz/2/pi/1e6, abs(Hz));
xlabel('f, MHz'); ylabel('|H|')
figure (6);
plot(w/2/pi/1e6, abs(H), Fs*wz/2/pi/1e6, abs(Hz));
xlabel('f, MHz'); ylabel('|H|')
figure (7);
[z,p,k] = tf2zp(bz,az);
zplane(z, p);
Td = 1 / Fs;
Tmod = 100000*Td;
t = 0:Td:Tmod;

Практическая сторона дела
Продолжение программы «PR5.m»
f = 1e3; % Hz
A = 1;
E = A*sin(2*pi*f*t); % гармоническое воздействие
y1 = filter(bz, az, E);
figure (8);
plot(t, [E; y1]); % plot(t, E, t, y1)
xlabel('t, sec');
% Шум
stdn = 13;
n = stdn * randn(1, length(t));
y = filter(bz, az, n);
figure (9);
plot(t, [n; y]); % plot(t, n, t, y)
xlabel('t, sec');

Продолжение программы «PR5.m»
nf = fft(n);
yf = fft(y);
mn = sqrt(mean(abs(nf).^2)) * 2.5;
nf = nf / mn;
yf = yf / mn;
f = 0:1/Tmod:(1/Td);
Figure (10);
plot(f/1e6, [abs(nf); abs(yf)], …
…w/2/pi/1e6, abs(H), …
…'LineWidth', 3);
xlim([0 Fs/1e6/2])
xlabel('f, MHz')
dt = toc(tstart);
% вывод времени работы
% программы в [мс]
fprintf('dt = %f ms\n', dt * 1e3);
Графики АЧХ и ФЧХ аналогового звена (freqs)
dt = 5491.096880 ms
Вывод программы:

Вывод программы:
Графики АЧХ и ФЧХ аналогового звена (unwrap)

Вывод программы:
График ИХ аналогового звена (impulse)

Вывод программы:
Карта расположения нулей (обозначаются кружками) и полюсов (крестики) системы на комплексной плоскости для аналогового фильтра
устойчивость
Нули z отсутствуют

Вывод программы:
Семейство из двух графиков АЧХ для аналогового звена (синий) и цифрового звена (красный) (bilinear)
График АЧХ для цифрового звена

Вывод программы:
Карта расположения нулей (обозначаются кружками) и полюсов (крестики) системы на комплексной плоскости для дискретного фильтра
устойчивость

Вывод программы:
Отклик на гармоническое воздействие и воздействие в виде белого гауссовского шума для дискретного аналога, полученного методом билинейного преобразования - функция filter();

Вывод программы:
Tmod = 100000*Td;
Отклик на воздействие в виде белого гауссовского шума для дискретного аналога, полученного методом билинейного преобразования - функция filter();
Синий график: БГШ
Рыжий график: БГШ после фильтрации

Вывод программы:
Tmod = 1000*Td;
Отклик на воздействие в виде белого гауссовского шума для дискретного аналога, полученного методом билинейного преобразования - функция filter();
Синий график: БГШ
Рыжий график: БГШ после фильтрации

Вывод программы:
Tmod = 100000*Td;
Спектральные плотности исходного шума и фильтрованного
Синий график: модуль спектральной плотности БГШ
Рыжий график: модуль спектральной плотности БГШ после фильтрации
Оранжевый график: АЧХ для аналогового звена

Вывод программы:
Tmod = 1000*Td;
Спектральные плотности исходного шума и фильтрованного
Синий график: модуль спектральной плотности БГШ
Рыжий график: модуль спектральной плотности БГШ после фильтрации
Оранжевый график: АЧХ для аналогового звена