Системы счисления

Тема: Системы счисления
Цель:
Познакомиться видами систем счисления.
Научиться выполнять перевод из одной системы счисления в другую.

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр и соответствующие ему правила действия над числами.
Цифра – символ, используемый для записи числа.
Цифры:
0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типы систем счисления
значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа
значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа

Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Десятичная египетская система счисления:
– 1
– 10
– 100
– 1000
– 10000
– 100000
– 1000000
чёрта
хомут
верёвка
лотос
палец
лягушка
человек
= ?

Непозиционные системы
Римская система счисления:
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех
одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов
номера месяцев

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная система: первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
3 7 8
2 1 0
разряды
8
70
300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Позиционные системы