Системы счисления. Двоичная система счисления

Системы счисления
§ 9. Системы счисления

Вспомним известное…
Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Формы записи чисел
6 3 7 5
3 2 1 0
разряды
5
70
300
= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100
6000
развёрнутая форма записи числа
Схема Горнера:
6 3 7 5 = ((6⋅10 + 3)⋅10 + 7)⋅10 + 5
для вычислений не нужно использовать возведение в степень
удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой

Перевод в десятичную систему
a3a2a1a0 = a3⋅p 3 + a2⋅p 2 + a1⋅p 1 + a0⋅p 0
Через развёрнутую запись:
Через схему Горнера:
12345 = 1⋅53 + 2⋅52 + 3⋅51 + 4⋅50 = 194
=1
разряды: 3 2 1 0
разряды: 3 2 1 0
a3a2a1a0 = ((a3⋅p + a2)⋅p + a1)⋅p + a0
12345 = ((1⋅5 + 2)⋅5 + 3)⋅5 + 4 = 194
основание системы счисления

Перевод из десятичной в любую
194 = 12345 = ((1⋅5 + 2)⋅5 + 3)⋅5 + 4
делится на 5
остаток от деления на 5
a3a2a1a0 = ((a3⋅p + a2)⋅p + a1)⋅p + a0
остаток от деления на p
a3a2a1 = (a3⋅p + a2)⋅p + a1
частное от деления на p
a1 - последняя цифра получившегося числа, которая равна остатку от его деления на p.
Если запись числа в системе с основанием p оканчивается на 0 то число делиться на p, если оканчивается на два нуля, то делится на p2.

Перевод из десятичной в любую
194
194 = 12345
10 → 5
Делим число на p, отбрасывая остаток
на каждом шаге, пока не получится 0. Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке.

в записи есть цифра 6, поэтому X > 6
переводим правую часть в десятичную систему
решаем уравнение
Задачи
Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «56x»? Определите основание системы счисления X.
71 = 56X
1 0
56x
= 5·X1 + 6·X0
= 5·X + 6
71 = 5·X + 6
X = 13

в записи есть цифра 5, поэтому X > 5
переводим правую часть в десятичную систему
решаем уравнение
Задачи
Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «155x»? Определите основание системы счисления X.
71 = 155X
2 1 0
155x
= 1·X2 + 5·X1 + 5·X0
= X2 + 5·X + 5
71 = X2 + 5·X + 5
X = 6
X = -11

Задачи
Задача: найдите все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 24 оканчивается на 3.
24 = k·X + 3
21 = k·X
X = 3, 7, 21

Задачи
Задача: найдите все десятичные числа,
не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11.
N = k·42 + 1·4 + 1 = k·16 + 5
При k =0, 1, 2, 3, … получаем
N = 5, 21, 37, 53, …

Задачи
Задача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О и У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА
5. …
Найдите слово, которое стоит на 140-м месте от начала списка.
1. 00000
2. 00001
3. 00002
4. 00010
5. …
в троичной системе!
на 1-м месте: 0
на 140-м месте: 139
139 = 120113

Задачи
Задача: Значение арифметического выражения
92017 + 32015 – 9
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 0, 1 и 2 содержится в этой записи?
Полезные свойства:

Задачи
Задача: Значение арифметического выражения
92017 + 32015 – 9
записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 0, 1 и 2 содержится в этой записи?
Решение:
(32)2017 + 32015 – 32
34034 + 32015 – 32
+
2 – 2013
1 – 1
0 – 2021
4034-2013

Дробные числа
0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0,001 + 5·0,0001
0, 6 3 7 5 = 6·10-1 + 3·10-2 + 7·10-3 + 5·10-4
Развёрнутая форма записи:
разряды: -1 -2 -3 -4
Схема Горнера:
0, 6375 = 10-1·(6 + 10-1·(3 + 10-1·(7 + 10-1·5)))
0, 1 2 3 45 = 1·5-1 + 2·5-2 + 3·5-3 + 4·5-4
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))
перевод в десятичную систему
перевод в десятичную систему

Дробные числа: из десятичной в любую
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))
5·(0,12345)= 1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4))
целая часть
дробная часть
0,a1a2a3a4 = p-1⋅(a1 + p-1⋅(a2 + p-1⋅(a1 + p-1⋅ a0)))
p⋅(0,a1a2a3a4) = a1 + p-1⋅(a2 + p-1⋅(a1 + p-1⋅ a0))

Дробные числа: из десятичной в любую
10 → 5
0,9376
0,9376 = 0,43215
10 → 5
0,3

Дробные числа: из десятичной в любую
10 → 6
25,375
= 25 + 0,375

Системы счисления
§ 11. Двоичная система счисления

Двоичная система
Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1
10 → 2
2 → 10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

Метод подбора
10 → 2
77 = 64 +
77
77
64
Разложение по степеням двойки:
77 = 26 + 23 + 22 + 20
+ 8 + …
+ 4 + …
+ 1
77 = 10011012
6 5 4 3 2 1 0
разряды
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
77 = 1⋅26 + 0⋅25 + 0⋅24 + 1⋅23 +1⋅22 +0⋅21 + 1⋅ 20
13
13
5
1
5
1
8
4
1

Перевод из двоичной в десятичную
10011012 = 26 + 23 + 22 + 20
6 5 4 3 2 1 0
разряды
= 64 + 8 + 4 + 1 = 77
Схема Горнера:

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
перенос
заём 1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
1
0
0
1
0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
∙
∙
0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0
1
1
1

Арифметические операции

Арифметические операции

Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12
× 1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12
– 1 1 12
0

Работа со степенями числа 2
Задача: Запишите значение выражения
212 + 27 – 25
в системе счисления с основанием 2.
Полезные свойства:
27 – 25 = 11000002
212 = 10000000000002
+
10000011000002
Решение:

Работа со степенями числа 2
Задача: Запишите значение выражения
212 + 27 – 25– 23
в системе счисления с основанием 2.
Решение:
27 – 23 = 11110002
212 = 10000000000002
+
10000010110002
пока забываем…
–
25 = 1000002
10110002

Работа со степенями числа 2
Задача: Сколько единиц и значащих нулей в двоичной записи числа
8128 + 4344 – 2136– 70
Решение:
(23)128 + (22)344 – 2136 – 26 – 23 + 21
8128 + 4344 – 2136– 64 – 8 + 2
= 64 + 8 – 2
2384 + 2688 – 2136 – 26 – 23 + 21
2688 + 2 384 – 2136 – 26 – 23 + 21
по убыванию степеней!
цепочка вычитаний
пока забываем…
384 – 3 – 2 =
379
1
1
381

Дробные числа
10 → 2
0,8125
0,8125 = 0,11012
10 → 2
0,6 =
0,100110011001… =
0,(1001)2

Дробные числа
Большинство дробных чисел хранится в памяти с некоторой погрешностью.
При выполнении вычислений с дробными числами погрешности накапливаются и могут существенно влиять на результат.
Желательно обходиться без использования дробных чисел, если это возможно.
если то...
если то...

Двоичная система счисления
длинная запись чисел: 1024 = 100000000002
запись однородна (только 0 и 1)
нужны только устройства с двумя состояниями
надёжность передачи данных при помехах
компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)

Системы счисления
§ 12. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления
Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 → 8
8 → 10
100
100 = 1448
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
PDP-11, ДВК,
СМ ЭВМ, БЭСМ,
БК

Примеры
134 =
75 =
1348 =
758 =

Восьмеричная система счисления

Перевод в двоичную систему счисления
8
10
2
трудоёмко
2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5
001
111
010
1012
{
{
{
{

Примеры
34678 =
21488 =
73528 =
12318 =

Перевод из двоичной в восьмеричную
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

Примеры
1011010100102 =
111111010112 =
11010110102 =

Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
1
1
6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
1
1 в перенос
1 в перенос
1
08
0
4
1 в перенос

Примеры

Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
∙
(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
∙
заём
78
1
5
заём

Примеры

Применение восьмеричной системы
компактная запись данных в компьютерах 1960-х годов:
101001112 = 2478
запись команд компьютеров PDP, ДВК, СМ ЭВМ
установка прав на доступ к файлу в Linux:
chmod 754 pass.txt
для пользователя
для группы
для остальных
7 = 111 = rwx чтение, запись, выполнение
5 = 101 = r-x чтение, выполнение
4 = 100 = r-- чтение

Системы счисления
§ 13. Шестнадцатеричная система счисления

11
Шестнадцатеричная система счисления
Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 → 16
16 → 10
444
444 = 1BC16
1BC16
2 1 0
разряды
= 1·162 + 11·161 + 12·160
= 256 + 176 + 12 = 444
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
С
B
C
B

Примеры
171 =
206 =
1C516 =
22B16 =

Шестнадцатеричная система счисления

Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоёмко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{ 1111
0001
10102
{
{

Примеры
C73B16 =
2FE116 =

Перевод из двоичной системы
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16
10010111011112

Примеры
10101011010101102 =
1111001101111101012 =
1101101101011111102 =

Перевод в восьмеричную и обратно
трудоёмко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады (справа):
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528

Примеры
A3516 =
7658 =

Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
1
1 6 D 916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
1
1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1

Примеры
С В А16
+ A 5 916
F D В16
+ A B C16

Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заём
∙
1 D D16
12 5 11
– 10 7 14
∙
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заём
13
1
13

Примеры
1 В А16
– A 5 916

Применение шестнадцатеричной системы
компактная запись данных :
запись команд компьютеров
5
E
5E16

Системы счисления
§ 14. Другие системы счисления

Задача Баше о наборе гирь
+ 1 гиря на правой чашке
0 гиря снята
– 1 гиря на левой чашке
Как с помощью 4-х гирь взвесить от 0 до 40 кг?
Веса гирь – степени числа 3:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг

Троичная уравновешенная система
ЭВМ «Сетунь» (1958) , Н.П. Брусенцов
Основание: 3
Алфавит: («-1»), 0, 1
Для N разрядов: всего 3N значений:
0 + по [3N/2] положительных и отрицательных чисел
уравновешенная система
и положительные, и отрицательные числа
для изменения знака нужно поменять знаки у всех цифр
запись короче, чем в двоичной системе
нужны элементы с тремя состояниями

Двоично-десятичная система (ДДС)
Десятичные цифры, закодированные в двоичном коде. Вinary coded decimal (BCD).
9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001ДДС
9 0 2 4 1 9
101010011,01111ДДС =
= 0001 0101 0011, 0111 1000ДДС = 153,78
легко переводить в десятичную систему
просто умножать и делить на 10
конечные десятичные дроби записываются точно (аналог ручных расчётов)
длиннее, чем двоичная запись
сложнее арифметические операции
Использование – в калькуляторах.

Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[email protected]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[email protected]