Системы счисления и ДЗ на 6_10

Системы счисления
§ 7. Системы счисления
§ 8. Двоичная система счисления
§ 9. Восьмеричная система счисления
§ 10. Шестнадцатеричная система счисления

Что такое система счисления?
Система счисления — это правила записи чисел с помощью специальных знаков — цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Счёт на пальцах:
Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)
только натуральные числа
запись больших чисел – длинная (1 000 000?)

Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа.
унарная
египетская десятичная
римская
славянская
и другие…

Египетская десятичная система
– 1
– 10
– 100
– 1000
– 10000
– 100000
– 1000000
черта
хомут
верёвка
лотос
палец
лягушка
человек
= ?
= 1235
2014 = ?

Римская система счисления
I – 1 (палец)
V – 5 (раскрытая ладонь)
X – 10 (две ладони)
L – 50
C – 100 (Centum)
D – 500 (Demimille)
M – 1000 (Mille)
Спасская башня Московского Кремля

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех
одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

Определения
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.
6 3 7 5
5
70
300
6000
3 2 1 0
разряды
= 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100
развёрнутая форма записи числа

Другие позиционные системы
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
и другие…
101102
= 1⋅24 + 0⋅23 + 1⋅22 + 1⋅21 + 0⋅20
4 3 2 1 0
= 22
1458
2 1 0
= 1⋅82 + 4⋅81 + 5⋅80
= 101
12316
2 1 0
= 1⋅162 + 2⋅161 + 3⋅160
= 291
1235
2 1 0
= 1⋅52 + 2⋅51 + 3⋅50
= 38
4567
1022
36512
5788
1729
5214

Позиционные системы счисления
Задача. В некоторой системе счисления число 58 записывается как 46x. Определите основание x этой системы счисления.
46x
1 0
= 4⋅x1 + 6⋅x0
4x + 6 = 58
4x = 52
x = 13
= 4x + 6
Переведём 46x в десятичную систему:

Системы счисления
§ 2. Двоичная система
счисления

Двоичная система счисления
Основание (количество цифр): 2
Алфавит: 0, 1
длинная запись чисел: 1024 = 100000000002
запись однородна (только 0 и 1)
нужны только устройства с двумя состояниями
компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)

Перевод в десятичную систему
2 → 10
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19
10 → 2
Выделение степеней числа 2:
21 = 16 + 5
21 = 1⋅24 + 0⋅23 + 1⋅22 + 0⋅21 + 1⋅20
= 16 + 4 + 1
24
24
22
20
= 101012

Выделение степеней числа 2
10 → 2
77
77 =
64 + 13
8 + 5
4 + 1
1
1
1
1
77 = 10011012

Другой способ (последовательное деление)
10 → 2
19
19 = 100112

Сложение в двоичной системе
10
6
5
3
1
1
1
1
2
1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
1
0
0
1
0
1
1
0
2
1
1
1
1 + 1 = 2 = 102
1 + 1 + 1 = 3 = 112

Сложение в двоичной системе

Вычитание в двоичной системе
10
4
5
4
9
•
•
0
2
1
0
+10
+10
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
∙
∙
1
0
0
1
0
0
+2
0
1
1
+2

Вычитание в двоичной системе

Системы счисления
§ 3. Восьмеричная система
счисления

Восьмеричная система счисления
Основание: 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
32758 69868
54828 3198

Из восьмеричной в десятичную
8 → 10
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
Переведите:
128 =
578 =
648 =
778 =
1208
57008

Восьмеричная система счисления
10 → 8
100
100 = 1448
Переведите:
31=
91=
126 =
172 =

Связь с двоичной системой
8 = 23
16258 =
1 6 2 5
001
{
{
110
010
1012
{
{

Перевод из двоичной в восьмеричную
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

Перевести:
Переведите в двоичную систему:
3758 =
52468 =
Переведите в восьмеричную систему:
10100112 =
101011002 =

Системы счисления
§ 4. Шестнадцатеричная
система счисления

Шестнадцатеричная система
Основание: 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
34AF516 5BG616
9FF6116 ADH2316

Перевод в шестнадцатеричную систему
11
10 → 16
444
444 = 1BC16
С
B
Переведите:
31=
91=
126 =
172 =

Перевод из шестнадцатеричной системы
16 → 10
1BC16
2 1 0
разряды
= 1·162 + 11·161 + 12·160
= 256 + 176 + 12 = 444
B
C
Переведите:
1216 =
5A16 =
B916 =
AB16 =
12016
570016

Связь с двоичной системой счисления
16 = 24
7F1A16 =
7 F(15) 1 A(10)
0111
{
{ 1111
0001
10102
{
{

Перевод из двоичной системы
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16
10010111011112