Алгебра. Лекция 3

Это утверждение непосредственно следует из определения 6 и теоремы 2.3.

Примеры.
Таким образом, циклическая группа, порождённая матрицей А, имеет порядок 2.
Таким образом, теперь подгруппа, порождённая матрицей А, имеет
бесконечный порядок.

8.
–

(1) Разделим с остатком k на n: k = nt + r, 0 ≤ r < n.

Доказательство.
Разделим с остатком k на n: k = nt + r, 0 ≤ r < n.

Примеры.
В качестве порождающего элемента можно выбрать число 1 или число –1.
Других порождающих элементов у этой группы нет.

Доказательство.
(2) следует из (1) и из утверждения (2) теоремы 3.1.
Пример. Z6 ={0, 1, 2, 3, 4, 5}.
|Z6|=6.
Образующие: 1 и 5.
2 не является образующим.
{0, 2, 4} – подгруппа, порождённая элементом 2.

Теорема 3.4. (о подгруппах циклической группы)
(1) Любая подгруппа циклической группы сама является циклической.
(2) Имеется взаимно однозначное соответствие между делителями порядка конечной циклической группы и её подгруппами.
Доказательство.

Таким образом, имеем инъекцию из множества делителей порядка группы G
в множество её циклических подгрупп.
Следовательно, n = mq, т. е. каждой подгруппе конечной циклической группы
отвечает делитель q её порядка n, и это соответствие – инъекция.