Анализ уравнений регрессии с помощью двумерных сечений поверхностей отклика

Если при проведении исследования варьировали два фактора, то график функции – это какая-либо объемная фигура. Например, для уравнения регрессии первого порядка для двух факторов поверхность отклика выглядит как плоскость. Объемное изображение, особенно если уравнение не первого, а второго и более высокого порядка более трудно проанализировать. В этом случае применяется методика построения двумерных сечений поверхности отклика.

График этой функции представляет собой гиперболоид вращения.

Если на полученную объемную фигуру посмотреть с уровня плоскости х10х2, получим:
Полученные линии пересечения плоскостей и фигуры проектируют на плоскость х10х2. Вид сверху на проекцию будет следующий:

ДСПО – двумерное сечение поверхности отклика
ИЛ – изолинии
Полученные проекции представляют собой линии равного уровня ‑ изолинии. Каждой точке на изолинии соответствует одно и то же значение критерия оптимизации (у).

Пример:
При использовании в плане эксперимента трех факторов поверхность отклика графически для уравнения регрессии с тремя факторами отобразить невозможно, т.к. для критерия оптимизации необходимо четвертое измерение. Для анализа влияния факторов на критерий оптимизации поступают следующим образом: фиксируют значение одного из факторов последовательно на минимальном, нулевом и максимальном уровнях и строят двумерные сечения по соответствующим двум осям. Из каждого изображения можно выяснить характер влияния двух факторов на значения критерия оптимизации, влияние третьего выявляется путем сопоставления всех трех изображений.

В пакете Microsoft EXCEL для построения двумерных сечений поверхностей отклика применяют матрицы данных, получаемые из таблиц подстановки.

Анализ выполняется следующим образом. Во-первых, последовательно рассмотрим все
3 изображения.
а) при Х3 = -1 увеличение фактора х1 приводит к увеличению значений показателя качества от 5 до 20 и больше, но до 25−30 не доходит, поскольку таких изолиний на этом изображении нет.
С увеличением х2 значения у будут увеличиваться. При движении вдоль оси х1 пересекается большее количество изолиний, т.е. изменение х1 приводит к более резкому изменению у.

б) при Х3 = 0 анализ поверхности отклика показывает, что с увеличением х1 значения у сначала увеличиваются (до значений более 40), а затем уменьшаются. По прежнему изменение х1 приводит к более резкому изменению у.
в) при Х3 = 1 увеличение фактора х1 приводит к уменьшению у, так же как и увеличение х2. Степень влияния факторов остается прежней (х1 влияет больше).
г) необходимо оценить влияние фактора х3. Оценка ведется путем сопоставления всех трех изображений.
Таким образом увеличение х3 приводит сначала к росту значений у, а затем к их снижению.

Построение двумерных сечений – это графическое отображение полученных уравнений регрессии. Эти сечения позволяют оценить степень влияния каждого фактора на показатель качества, в том числе оценить ориентировочно оптимальное сочетание факторов.
В нашем примере это зона 40 и выше; 45 получить невозможно, т.к. в зоне 40 должна была быть хотя бы точка 45.