Брейн-ринг. Геометрия

Даны прямая n и четыре точки А,В, С и D, не лежащие на
прямой n. Определите , пересекаются ли прямая n и отрезок AD,
если отрезок АС и ВС пересекают, а отрезок ВD не пересекает
прямую n.
Решение:
Ответ: Не пересекаются

Определите, лежат ли три точки А,В и С
на одной прямой,
если АВ = 5 см, АС = 8 см, СВ = 9 см.
Решение:
Если точки лежат на одной прямой
выполняется равенство:
СВ = СА + АВ, но
9 ≠8+5.
Значит, А, В, С не лежат на одной прямой

Определите какой угол образуют биссектрисы
смежных углов.
Решение:
∠NBK - ?
∠NBK = ∠NBD+∠DBK =
= ∠ABD + ∠DBC =
= (∠ABD+ ∠DBC) =
= 180= 90°

Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О. АО = ОD,
АО = 4 см, ВС = 2,5 см, CD = 4,5 см, ∠ВАО = ∠СDО.
Найдите периметр треугольника АВО.
Дано: AD∩BC =О, АО = ОD,
АО = 4 см, ВС = 2,5 см,
CD = 4,5 см, ∠ВАО = ∠СDО.
Найти: РΔАВО
Решение:
Рассм. ΔАОВ и ΔСОD
АО=ОD
∠ВАО = ∠СDО.
∠ВОА = ∠СОD. (как вертикальные)
Значит, ΔАОВ = ΔСОD (по стороне и двум прилежащим углам).
Из равенства следует, что ВО = ОС =1,25 (см), СD = АВ =4,5 (см)
РΔАВО = АВ +АО +ВО
РΔАВО = 4,5+1,25 + 4 = 9,75 (см)
Ответ: 9,75 см

Дано: АС =10 см
АС:ВО = 2:1
ВС=6 см
Найти: РΔАОD.
Решение:
АО=ОС = 5 (см) (по условию)
Рассм. ΔСОВ и ΔАОD
1. АО=ОС
2. ∠ВСО = ∠DАО.
3. ∠ВОС = ∠АОD. (как вертикальные)
Значит, ΔАОВ = ΔСОD (по стороне и двум прилежащим углам).
Из равенства следует, что ВО=ОD, ВС=AD =6(см)
Так как АС:ВО = 2:1, то ВО=5 см
РΔАDО = АD +АО +DО
РΔАDО = 5+ 5+6 =16 см
Ответ : 16 см

Дано: АD = ВC
CD=АB
∠D = 120°
Доказать: Δ DAC = ΔBAC
Найти: ∠В.
Решение:
Рассм. Δ DAC и ΔBAC
АВ =CD
AD = BC
AC – общая
Значит, Δ DAC = ΔBAC (по трем сторонам)
Из равенства следует, что ∠В = 120°
Ответ: Δ DAC = ΔBAC, ∠В = 120°

Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух
прямых, если сумма двух из них в 3 раза меньше суммы
двух других.
Решение:
∠1 = ∠3
∠2 = ∠4
(вертикальные)
∠1 +∠3 <∠2+∠4 в 3 раза
Пусть ∠1 +∠3 =х, ∠2+∠4 = 3х
х+ 3х = 360
4х= 360
х= 90
∠1 + ∠3 = 90°
∠1 = ∠3=45°
∠2+∠4= 270
∠2 = ∠4 =135°
Ответ: 45°,45°, 135°, 135°.

Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна
26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть
стороны этого треугольника
A
B
C
Решение:
Рассм. ΔАВС – р/б. Р ΔАВС = 36 см
1. АВ = ВС
АВ+ВС =26, то АВ = ВС=13 (см)
АС =10 см
2. АВ+ АС = 26, то ВС = 10 см, тогда
АВ =10 см, АС = 16 см
Ответ: 13 см, 13 см,10 см
10 см, 10 см, 16 см.

Дано: ∠ 1 = ∠2
∠ 3 = ∠4
Доказать: Δ ABC = ΔACD
Рассм. Δ AОC и ΔAОD
1. ∠ 1 = ∠2
2. ∠ 3 = ∠4
3. АО – общая.
Значит, Δ AОC и ΔAОD (по стороне и двум прилежащим углам)
Из равенства следует, что AD= AB.
Рассм. Δ ABC и ΔACD
AD= AB.
∠ 3 = ∠4
АС – общая
Значит, Δ ABC = ΔACD (по двум сторонам и углу между ними.)
Доказательство: