Применение производной к исследованию функции

Исторические сведения.
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и
Лейбницем в конце 17 столетия.
Понятие производной встречалось в работах
итальянского математика Тартальи ( около 1500 - 1557 гг. ) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны.

Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков.
Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.
Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок.
А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.
Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как "мистический".
Лозунгом многих математиков 17 века был: ”Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".

Темы
1.Определение производной.
2.Правила вычисления производной.
3.Производная сложной функции.
4. Физический Физический и геометрический смысл
производной.
5. Понятие «монотонность функции».
6. Достаточные признаки возрастания Достаточные признаки возрастания и убывания
функции на промежутке.
7. Понятие «критические точки функции».
8. Необходимые условия экстремума функции;
9.признаки максимумапризнаки максимума и минимума функции.
10.Решение задач .
ТЕСТ

Производная
Определение. Производной функции f в точке х0 называется
число, к которому стремится отношение
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Необходимое условие дифференцируемости функции. Для того, чтобы функция f была дифференцируема (имела производную) в точке х0 необходимо, но не достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке.

Правила вычисления производной
Пусть u и v дифференцируемые функции, а с – const. Тогда

Производная сложной функции

Правила дифференцирования
Правило 1:
Если функции y=f(x) y=g(x) имеют производную в точке х, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных: (f(x)+g(x))`= f `(x)+g`(x) На практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных. При этом речь может идти о дифференцировании суммы любого числа функций. Например, (x2+sinx)`=(x2)`+(sinx)`=2x+cos x
Правило 2.
Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=kf(x) имеет производную в точке x, причем (kf(x))`=kf `(x). На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной. Например, (5x2)`=5(x2)`=5*2x=10x
Правило 3:
Если функции y=f(x) y=g(x) имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке x, причем (f(x) g(x))`= f `(x) g(x)+ f(x) g`(x) На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Например, ((2x+3)sinx)`=(2x+3)`sinx+(2x+3)sinx`= 2sinx+(2x+3)cos x

Правило 4:
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке х и
в этой точке g(x) не равно 0 ,то и частное имеет
производную в точке х, причем

Геометрический смысл производной
Касательной к графику функции f(x) в точке х0 называется прямая, задаваемая уравнением
α – угол наклона касательной к оси Ох.
k – угловой коэффициент касательной.
Значение производной функции f в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Очень важно! Нужно знать!
Если функция f(x) не имеет производной в точке х0, но непрерывна в этой точке, то у графика функции в данной точке либо вообще нет касательной,
Примеры
Касательной не существует в точке (0;0).

либо есть вертикальная касательная.
Касательная вертикальна в точке (0;0).
y
x
0
Y=

Следовательно :
Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0; f(x0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.

Физический смысл производной
Пусть S=S(t) – зависимость пути от времени, тогда
Скорость – производная пути по времени.
Ускорение – производная скорости по времени (вторая производная пути по времени).

Монотонность функции
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вверх. .
Задача1 .Найти промежутки возрастания функции.
Задача2.Найти промежутки убывания этой же функции:
Геометрически – это интервалы оси ox, где график функции идет вниз .

Монотонность функции
Назовите промежутки возрастания (убывания)для функций:
0
0
a
b
c
a
b
c
d
m
n
x
x
x
y
y
0
y
1)
2)
3)

a
b
c
0
y
x
Проблема
Можно ли установить зависимость между видом монотонности (возрастанием или убыванием) функции на промежутке и знаком производной в каждой точке этого промежутка? Как это сделать?

Признак возрастания функции
Достаточное условие возрастания функции : Если в каждой
точке интервала (a; b) f’(x)>0, то функция f(x) монотонно
возрастает на этом интервале.

Признак убывания функции
Достаточное условие убывания функции : Если в каждой
точке интервала (a; b) f’(x)<0, то функция f(x) монотонно
убывает на этом интервале.

Условие постоянства функции
Необходимое и достаточное условие постоянства функции : Функция f постоянна на интервала (a; b) тогда и только тогда, когда f’(x)=0 в каждой точке этого интервала.
0

Экстремумы функции
Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≤f(x0).
Определение. Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≥f(x0).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются максимумами и минимумами функции.

Критические точки функции
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Если х0 – точка экстремума функции f, то эта точка является критической точкой данной функции.
f’(x)=0;
х0 – крит. точка;
f(x0)=fmax.
f’(x)=0;
х0 – крит. точка;
f(x0)=fmin.
f’(x)=0;
х0 – крит. точка;
f(x0) не является экстремумом.

Критические точки (примеры)
f’(x0) не существует;
х0 – крит. точка;
f(x0) не является экстремумом.
f’(x0) не существует;
х0 – крит. точка;
f(x0)=fmin.
Нет критических точек;
х0=0 не является внутренней точкой области определения.

Критические точки (примеры)
f’(x)=0 при всех x∈(-3; 4);
f’(-3), f’(4) не существуют;
все x∈[-3; 4] критические точки.
f’(x0) не существует;
х0 – крит. точка;
f(x0)=fmin.
Нет критических точек;
х0 – точка разрыва.

Проблема
Как установить с помощью производной
наличие экстремума функции и его вид на промежутке?
0

Достаточное условие экстремума
Если функция f непрерывна в точке х0 и производная f’(x) меняет знак в
этой точке, то х0 – точка экстремума функции f.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а
f’(x)>0 на интервале (a; x0) и f’(x)<0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f’(x)<0 на интервале (a; x0) и f’(x)>0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.