Решение задач на построение методом подобных треугольников

- Что называется отношением двух отрезков?
- В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
- Дайте определение подобных треугольников.
- Сформулируйте признаки подобия треугольников.
- Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

- Найдите BD ?
A D
- Выразите из равенства DC ?
B
C

- Постройте угол равный данному
- Постройте медиану AM ΔABC
-Постройте прямую, параллельную стороне AB ΔABC и проходящую через точку C
A
B
C

-В чем заключается метод построения фигур методом подобия?
- Сколько и какие этапы включают в себя задачи на построения?

Задача 1.
Построить треугольник ABC по углу A,отношению сторон AB : AC = 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C.

m

Построение:
а) Построить угол A, равный ∝.
б) На сторонах угла A отложить отрезки AC1 и AB1так, что AB1 : AC1 = 2 : 1.
в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB1C1 - точку O1.
г) На луче O1C1 отложить отрезок O1E, равный m.
д) Построить прямую EC, параллельную медиане AM1 треугольника AB1C1C = EC ∩ AC1.
е) Через точку C провести прямую CB, параллельную C1B1, CB∩AB1 = B.
Треугольник ABC – искомый.
A
E

Доказательство:
а) В треугольнике ABC ∠A = ∝.
б) AB : BC = 2 : 1, так как ΔABC ~ ΔAB1C1 по двум углам → так как AB1:AC1 = 2: 1 по построению ,то AB : AC = 2 : 1.
в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B1M1 = M1C1, то BM = MC (ΔAB1M1~ΔABM,ΔAM1C1~ΔAMC).
г) OC = m, так как O1E = m, а O1OCE параллелограмм по построению.
Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC – искомый.
E
A

Задача 2 (№ 588)
Постройте треугольник ABC по углу A и медиане AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3.

Дано:
∠A = ∝,
AM = m,
AB : AC = 2 : 3.
Построить: ΔABC
m

Построение:
а) Построить ∠A = ∝
б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN
в) Найти середину NF
г) На луче AO - отрезок AM = m
д) Через M строим прямую l параллельную NF
е) l ∩ AF = C, l ∩ AN = B.
Треугольник ABC – искомый.
A
N
F
O
M
C
B

Доказательство:
а) ΔANF ~ΔABC, (∠A – общий ,∠ABC = ∠ANF при NF || BC и секущей AB)
б) NO = OF (по построению)
в) BM = MC , т.е. AM – медиана.
Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.
A
N
F
O
M
C
B

Задача 3 (№589)
Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 1.

Дано:
∠A = ∝,
BC = m,
AB : AC = 2 : 1
Построить: ΔABC
m

ПОСТРОЕНИЕ:
А) ∠A = ∝
Б) AB1 = 2 PQ
В) AC1= PQ
Г) C1B2 = M
Д) ЧЕРЕЗ ТОЧКУ B2 ПРОВЕДЕМ ПРЯМУЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ AC1 ,
BB2|| AC1
Е) ЧЕРЕЗ ТОЧКУ B ПРОВЕДЕМ ПРЯМУЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ С1B1,
BC ||B2C1
Δ ABC - ИСКОМЫЙ.
P
Q
A
B1
C1
B2
B
C

A
B1
C1
B2
B
C

Задача 4.

Построение:
а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n.
б) Провести прямую BC так, что BC⏊AB.
в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m
г) DK – искомый отрезок.
Задача не имеет решения, если m
B
D
A
n
m
C
K
m