Элементы комбинаторики. Размещения

Тема урока

Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки.
В каждую ячейку можно поместить
по одному шару.
a
b
d
c
a
b
c
d
abc

a
b
d
c
a
b
c
d
acb
Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки.
В каждую ячейку можно поместить
по одному шару.

a
b
d
c
a
b
c
d
bac
Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки.
В каждую ячейку можно поместить
по одному шару.

a
b
d
c
a
b
c
d
dcb
Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки.
В каждую ячейку можно поместить
по одному шару.

Определение
Размещением из n элементов по k
(k ≤ n) называется любое
множество, состоящее из k
элементов, взятых в определенном
порядке из данных n элементов.
abc, acb, bac, dcb, …

Обозначение:

Все возможные размещения
по 3 элемента из 4:
abc, abd, acb, acd, adb, adc,
bac, bad, bca, bda, bcd, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.

Первый элемент можно выбрать 4-мя способами.
Для каждого выбранного первого элемента второй можно выбрать из оставшихся 3-мя способами.
Ля каждых первых двух выбранных элементов третий элемент из оставшихся двух можно выбрать 2-мя способами.
Т.е.

Формула размещения для k < n
Формула размещения для k = n

Пример 1
Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Решение

Пример 2
Сколько трехзначных чисел
(без повторения цифр в записи числа)
можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
Решение
Нужно исключить те, у которых первым элементом будет 0.

Решение задач
№ 754 Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если в купе других пассажиров нет?
Решение. Пронумеруем места в купе (с № 1 по № 4) и
будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер
места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться
выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав
выборки, но и порядок расположения в ней элементов
(кто именно и на каком месте поедет).
Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

Решение задач
№ 757 Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4 х 100 м, побежит на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Решение. Выбор из 12 по 4 с учетом порядка:
11 880 способов.
Ответ: 11880 способов.

Задачи на закрепление
Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек?
Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?
Сколькими способами можно изготовить трех­цветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?