Показательная функция

Определение
Показательная функция – это функция вида ,
где x – переменная,
- заданное число, >0, ≠1.
Примеры:

Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.

Построить график функции y = 2x
x
y
-1
8
7
6
5
4
3
2
1
- 3 - 2 -1 0 1 2 3
х
у
3 8
2 4
1 2
0 1

Построить график функции

Построить график функции

Графики показательной функции:

Показательная функция обладает следующими свойствами:
D(f): множество R всех действительных чисел;
E(f): множество всех положительных чисел;
f(x)>0 при любом значении х;
Показательная функция у=ах является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а>1,и убывающей, если 0<а<1;
Не является ни четной, ни нечетной;
Не ограничена сверху, ограничена снизу;
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
Непрерывна.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля
(E (y)=R+).
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1),
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

В одной координатной плоскости построить графики функций: y=2x, y=3x, y=5x, y=10x.
Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1).
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Показательная функция
Сравнение чисел с использованием свойств показательной функции
Сравнение числа с 1
а) аналитический способ;
б) графический способ.

Задача 1
Сравнить числа
Решение
Ответ:

Задача 2
Сравнить число с 1.
Решение
-5 < 0
Ответ:

Задача 3
Cравнить число р с 1
р =
2 > 1, то функция у = 2t – возрастающая.
0 < < 1, то
функция у =
– убывающая
Ответ: 23 > 1.
Ответ:
> 1
р =

Используя свойства возрастания и убывания показательной функции сравнить числа:
Сравнить:
а) 53 и 55;
б) 47 и 43;
в) 0,22 и 0,26;
г) 0,92 и 0,9.

Решить графически уравнения:
1) 3x=4-x, 2) 0,5х=х+3.

Давление воздуха убывает с высотой по закону:
P- давление на высоте h,
P0 - давление на уровне моря,
а- некоторая постоянная.
Рост древесины происходит по закону: A- изменение количества древесины во времени;
A0 - начальное количество древесины; t - время, к, а- некоторые постоянные.

Рост народонаселения
Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой ,
где N0 - число людей в момент времени t=0,
N -число людей в момент времени t,
a -константа.

Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.
Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8 х 1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомства пары мух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но так как, кроме мух существует множество других животных и растений, многие из которых являются естественными врагами мух их количество не достигает вышеуказанных значений.