Функции и их графики

1. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
у = 1
у = 1,5
1,5
-1
-1
2
3
-3
3
1 точка
1 точка
1 точка
Ответ: m = 1; m = 1,5.

2. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком две общие точки.
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
2 точки
2 точки
-1
-1
2
-3
3
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1 точка
0 точек
2 точки
Ответ: m < 0; 0 < m < 1.

3. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
1 точка
-1
-1
2
-3
3
-5
2 точки
2 точки
Ответ: m = ‒ 4; m = ‒ 3.
-4
-5
-6
1 точка
-4
-3
-2
2
3
4
2 точки
у(-4) = -3
у(-3) = -4

4. Постройте график функции
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
4 точки
-1
-1
2
-3
3
-5
2 точки
Ответ: наибольшее число точек
пересечения равно 4 при 0 < m < 2,25.
-4
-5
-6
-4
-3
-2
2
3
4
2 точки
3 точки

5. Постройте график функции
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение.

Решение.
х
у
4 точки
-2
2 точки
Ответ: наибольшее число точек
пересечения равно 4 при – 1 < m < 8.
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
2 точки
3 точки
1 2 3 4 5 6 7
1
0
8
4 точки
-1

6. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
1 точка
-1
-4
2
-3
3
-6
-2
-8
-10
-12
2 точки
1 точка
1 точка
-4
у(3) = -10
у(-1) = -6
4
5
6
Ответ: m = ‒ 12,25; m = ‒ 10; m = ‒ 6.
2 точки
2 точки

7. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение.

Решение.
х
у
2 точки
-2
1 точка
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
1 точка
1 2 3 4 5 6 7
1
0
2 точки
-1
Ответ: m = 2; m = 3.
3 точки
5
6
7
8
9

8. Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = x2 + 4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Решение.
Другими словами, нужно найти все значения k, при каждом из которых система имеет одно решение:

Решение.
х
у
-2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7
1
0
-1
5
6
7
8
9
Ответ: k = 4; k = ‒ 4.
y = 4x
y = ‒ 4x

9. Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = ‒ x2 – 1 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Решение.
Другими словами, нужно найти все значения k, при каждом из которых система имеет одно решение:

Решение.
х
у
-2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-6
-5
-4
1 2 3 4 5 6 7
-7
0
-1
-3
-8
1
Ответ: k = 2; k = ‒ 2.
y = 2x
y = ‒ 2x

10. Найдите p и постройте график функции y = x2 + p если известно, что прямая y = 6x имеет с этим графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Другими словами, нужно найти все значения p, при каждом из которых система имеет одно решение:

Решение.
х
у
-4
-8 -6 -4 -2
4
6
8
2 4 6 8
2
0
-2
10
12
14
16
18
Ответ: p = 9.
y = 6x

11. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение.

Решение.
х
у
-2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
0
-1
1
2
3
4
5
-4
-3
-6
-5
1 точка
1 точка
Ответ: m = ‒ 1.
0 точек

12. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение.

Решение.
х
у
-2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
0
-1
1
2
3
5
-4
-3
-6
-5
1 точка
1 точка
Ответ: m = 4.
0 точек
4

13. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение.

Решение.
х
у
2 точки
-2
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
1 точка
1 2 3 4 5 6 7
1
0
2 точки
-1
Ответ: m = 5; m = -4.
3 точки
5
6
7
3 точки
-4
-3

14. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение.

Решение.
х
у
-4
-8 -6 -4 -2
-2
-6
2
-4
0
-8
4
6
8
10
12
Ответ: m = 9; m = -7.
y = – x – 8
2 точки
2 точки
2 4 6 8
y = 6x – х2

15. Постройте график функции
и определите, при каких значениях k прямая у = kx
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.

Решение.
Другими словами, нужно найти все значения k, при каждом из которых система имеет одно решение:

Решение.
х
у
-8 -6 -4 -2
-14
-12
0
-10
-8
-6
-4
-2
y = – 6x
2 4 6 8
y = 6x
-16
-18
y = – 10x
Ответ: k = 6; k = -6; k = -10.
y = – x2 – 9

16.1. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
-1
-1
2
-3
3
-5
-4
-5
-6
-4
-3
-2
2
3
4
2 точки
2 точки
1 точка
1 точка
1 точка
0 точек
Ответ: -1,5 < m ≤ 0.

16.2. Постройте график функции
и определите, при каких значениях т прямая у = т
имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение.

Решение.
х
у
0
1
1
-2
-1
-1
2
-3
3
-5
-4
-5
-6
-4
-3
-2
2
3
4
3 точки
2 точки
1 точка
2 точки
1 точка
Ответ: m = -1,5; m = 0.