История дифференциального исчисления

Содержание

Слайд 2

СЭР ИСААК НЬЮТОН

04.01.1643 – 31.03.1727

Английский физик, математик и астроном, один из создателей

СЭР ИСААК НЬЮТОН 04.01.1643 – 31.03.1727 Английский физик, математик и астроном, один
классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.

Портрет 1689 года

Слайд 3

СЭР ИСААК НЬЮТОН

Вулсторп. Дом, где родился Ньютон.

Тринити-колледж, в котором учился Ньютон.

Почитаемый потомок

СЭР ИСААК НЬЮТОН Вулсторп. Дом, где родился Ньютон. Тринити-колледж, в котором учился
«Яблони Ньютона». Кембридж, Ботанический сад.

Титульный лист «Начал» Ньютона.

Могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве.

Один из последних портретов Ньютона (1712)

Слайд 4

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ

01.07.1646 – 25.11.1716

Немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат,

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ 01.07.1646 – 25.11.1716 Немецкий философ, логик, математик, физик, юрист,
изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук.
Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ  — дифференциальное и интегральное исчисления.
Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным. Он заложил основы математической логики, описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
Выдвинул в психологии понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни.

Слайд 5

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ

Церковь и Школа Святого Фомы

Альтдорфский университет

Копия механического калькулятора Лейбница

Дом Лейбница

ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ Церковь и Школа Святого Фомы Альтдорфский университет Копия механического
(Ганновер), в котором он жил с 1698 года вплоть до своей смерти

Двоичная система счисления Лейбница. Страница из Explication de l’Arithmétique Binaire

Памятник Готфриду Вильгельму Лейбницу в Лейпциге

Слайд 6

ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ

21.08.1789 – 23.05.1857

Великий французский математик, член Парижской академии наук, Лондонского

ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ 21.08.1789 – 23.05.1857 Великий французский математик, член Парижской академии
королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.
Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда.
Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени.

Слайд 7

ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ

Политехническая Школа

Сорбонна

Коллеж де Франс

Туринский университет

ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ Политехническая Школа Сорбонна Коллеж де Франс Туринский университет

Слайд 8

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Определение производной
Производная и дифференциал.
Таблица производных.
Необходимое условие дифференцируемости.
Геометрический смысл производной.
Физический смысл

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Определение производной Производная и дифференциал. Таблица производных. Необходимое условие
производной.
Основные правила вычисления производных.

Слайд 9

Производной функции f(x) в точке x=a называют предел отношения приращения функции к

Производной функции f(x) в точке x=a называют предел отношения приращения функции к
приращению аргумента когда аргумент x стремится к точке a

Производная

Слайд 10

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала и понятие дифференцируемой функции.
Функция

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала и понятие дифференцируемой функции. Функция
f(x) называется дифференцируемой в точке x=a если ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции и бесконечно малой величины более высокого порядка, чем эта линейная функция, т. е.
где предел функции α(x) при x ---> a равен нулю.

Дифференцируемость

Слайд 11

Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть функция f(x) имеет производную в точке x=a, тогда

Справедливо следующее утверждение. Теорема. Пусть функция f(x) имеет производную в точке x=a,
она дифференцируема в этой точке и постоянную A, входящую в формулу для приращения, можно взять равной f'(x) .
Обратно. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x=a, тогда она имеет производную в этой точке и постоянная A, входящая в формулу для приращения, равна f'(a).

Производная и дифференцируемость

Слайд 12

Доказательство. Пусть функция имеет производную f'(a) , тогда
где α(x) ‒ функция, имеющая

Доказательство. Пусть функция имеет производную f'(a) , тогда где α(x) ‒ функция,
при x ---> a предел, равный нулю.
Из этого равенства находим
что доказывает дифференцируемость функции с постоянной

Производная и дифференцируемость

Слайд 13

Обратно, пусть функция дифференцируема, тогда
где α(x) ‒ функция, имеющая при x --->

Обратно, пусть функция дифференцируема, тогда где α(x) ‒ функция, имеющая при x
a предел, равный нулю.
Из этого соотношения получаем, что
и в силу арифметических свойств предела
т. е. производная функции существует и равна A.

Производная и дифференцируемость

Слайд 14

Слагаемое A(x-a) , входящее в определение дифференцируемости, носит название главной линейной частью

Слагаемое A(x-a) , входящее в определение дифференцируемости, носит название главной линейной частью
приращения функции в точке x=a или дифференциалом функции в этой точке
Как было только что доказано, необходимым и достаточным условием существования дифференциала является существование производной функции в данной точке. При этом величина A равна производной функции так, что
Дифференциалом dx независимой переменной x в точке x=a называется ее приращение
Таким образом, дифференциал функции

Дифференциал

Слайд 15

Дифференциал

На практике обычно принято записывать все формулы, в которые входит производная или

Дифференциал На практике обычно принято записывать все формулы, в которые входит производная
дифференциал, не вводя специального обозначения для фиксированной точки a , а использовать для нее традиционное обозначение x . В этом случае неявно подразумевается наличие еще одного символа для обозначения независимой переменной, который не пишется. Это позволяет записать последнюю формулу в виде равенства

Слайд 16

Таблица производных

Таблица производных

Слайд 17

Пример

Пример

Слайд 18

Таблица дифференциалов

Таблица дифференциалов

Слайд 19

Теорема. Если функция дифференцируема, то она непрерывна.
Доказательство. Согласно доказанной выше теореме
Поэтому
Отсюда следует,

Теорема. Если функция дифференцируема, то она непрерывна. Доказательство. Согласно доказанной выше теореме
что
Так как предел функции равен значению в предельной точке, то функция непрерывна.

Необходимое условие дифференцируемости

Слайд 20

Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция может не иметь производной. В этом можно

Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция может не иметь производной. В этом можно
убедиться на примере функции y=|x| в точке x=0. Для этой функции правый и левый пределы разностного отношения различны
Так как правый и левый пределы различны, то предел разностного отношения не существует, т. е. эта функция не дифференцируема в нуле.

Необходимое условие дифференцируемости

Слайд 21

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Если существует предел углового коэффициента секущей AB при
x ----> x0,

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Если существует предел углового коэффициента секущей AB при x
то прямую AC, которая проходит через точку A и имеет угловой коэффициент k , равный этому пределу, называют в этом
случае предельным положением
секущей или касательной в точке
(x0,f(x0)) графика функции.(x)

Производная функции в заданной точке совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику этой функции в заданной точке.

Слайд 22

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x0,y0) и имеющей угловой коэффициент k

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x0,y0) и имеющей угловой коэффициент k
, имеет вид
Отсюда следует, что уравнение касательной к графику функции записывается в следующей форме

Касательная

График функции y=f(x) имеет касательную в точке (x0,f(x0))
тогда и только тогда, когда существует производная f ’(x0) .

Слайд 23

Прямая, которая проходит через точку (x0,f(x0)) и перпендикулярна касательной в этой точке,

Прямая, которая проходит через точку (x0,f(x0)) и перпендикулярна касательной в этой точке,
называется нормалью. Известно, что для двух перпендикулярных прямых произведение их угловых коэффициентов равно ‒1.
Следовательно, если производная функции отлична от нуля, то уравнение нормали имеет вид
Если же производная равна нулю то касательная параллельна оси Ox и уравнение нормали имеет вид

Нормаль

Слайд 24

Пусть материальная точка совершает прямолинейное движение и xx(t) – ее координата, отсчитываемая

Пусть материальная точка совершает прямолинейное движение и xx(t) – ее координата, отсчитываемая
от некоторой точки на прямой, принятой за начало координат. Средняя скорость движения за промежуток времени, прошедший с момента t0 до момента t , равна
Предел средней скорости при t ---> t0 называется в механике мгновенной скоростью. По определению производной, мгновенная скорость
Эта интерпретация обобщается на скорость изменения любой физической величины.
Например, если q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t , то q' (t) – мгновенная скорость его изменения, т. е. сила тока в этот момент времени.

Слайд 25

ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ

Слайд 26

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Производная суммы.
Производная разности.
Производная произведения.
Производная частного.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Производная

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ Производная суммы. Производная разности. Производная произведения. Производная частного.
функции в параметрической форме.
Производная «показательно-степенной» функции.

Слайд 27

Производная суммы и разности

Производная суммы и разности

Слайд 28

Производная произведения

Производная произведения

Слайд 29

Производная частного

Производная частного

Слайд 30

Производная сложной функции


Рассмотрим сложную функцию
Если существуют производные
то ее производная определяется формулой

Производная сложной функции Рассмотрим сложную функцию Если существуют производные то ее производная определяется формулой

Слайд 31

Производная сложной функции


Доказательство. Функция f(t) дифференцируема в точке
поэтому по свойству

Производная сложной функции Доказательство. Функция f(t) дифференцируема в точке поэтому по свойству
дифференцируемой функции
где α(t) – функция, имеющая нулевой предел при t ---> t0 . Доопределяя ее нулем при t = t0 , можно считать ее непрерывной при t = t0 так, что при этом α(t0)=0.
Так как функция t=φ(x) дифференцируема в точке x=x0 , то также
где β(t) – функция, имеющая нулевой предел при x ---> x0 . Доопределяя ее нулем при x = x0, можно считать ее непрерывной при x = x0 так, что при этом β(t0)=0.

Слайд 32

где

Производная сложной функции

где Производная сложной функции

Слайд 33

Так как функция t=φ(x) дифференцируема в точке x = x0 , то

Так как функция t=φ(x) дифференцируема в точке x = x0 , то
она непрерывна в этой точке. Функцию α(t) можно считать непрерывной в точке t=t0=φ(x0). По теореме о непрерывности сложной функции α(φ(x)) непрерывна при x = x0 , т. е.
Но тогда

Производная сложной функции

Слайд 34

Итак
где
и
Отсюда следует, что функция
дифференцируема в точке
и ее производная

Итак где и Отсюда следует, что функция дифференцируема в точке и ее производная Производная сложной функции

Производная сложной функции

Слайд 35

Производная обратной функции

Пусть функция
монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 , в

Производная обратной функции Пусть функция монотонна и непрерывна в окрестности точки x0
самой точке x0 существует производная, которая не равна нулю. Тогда обратная функция
также имеет производную в точке
и

Слайд 36

Производная обратной функции

Доказательство. Из условий теоремы вытекает непрерывность обратной функции, поэтому при

Производная обратной функции Доказательство. Из условий теоремы вытекает непрерывность обратной функции, поэтому
y ---> y0 величина x ---> x0 . Положим
y=f(x)
и учтем, что при этом
Тогда
Это доказывает утверждение теоремы.

Слайд 37

Производная функции в параметрической форме

Рассмотрим функцию
заданную в параметрическом виде

Пусть функция x=φ(t) непрерывна

Производная функции в параметрической форме Рассмотрим функцию заданную в параметрическом виде Пусть
и монотонна в окрестности точки t=t0 , пусть также существуют производные
причем φ′(t0)≠0. Тогда функция y=f(x) имеет производную в точке x0= φ(t0). При этом

Слайд 38

Производная функции в параметрической форме

Доказательство. В самом деле, при тех предположениях, которые

Производная функции в параметрической форме Доказательство. В самом деле, при тех предположениях,
сделаны, функция x=φ(t) имеет обратную t=τ(x) . Производную этой функции можно вычислить по правилу дифференцирования обратной функции:
Функцию
мы можем рассматривать как сложную функцию. По правилу дифференцирования сложной функции

Слайд 39

Производная «показательно-степенной» функции

Показательно-степенной функцией условно называют функцию вида

Производную этой функции можно найти

Производная «показательно-степенной» функции Показательно-степенной функцией условно называют функцию вида Производную этой функции
если предварительно сделать тождественные преобразования

И затем использовать правило дифференцирования сложной функции

В результате получается простая формула, которую легко запомнить. Нужно продифференцировать функцию как показательную, затем как степенную и полученные результаты сложить.

Слайд 40

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Дифференциал суммы.
Дифференциал разности.
Дифференциал произведения.
Дифференциал частного.
Дифференциал сложной функции.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ Дифференциал суммы. Дифференциал разности. Дифференциал произведения. Дифференциал частного. Дифференциал сложной функции.

Слайд 41

Дифференциал суммы

Дифференциал разности

Дифференциал произведения

Дифференциал частного

Основные правила вычисления дифференциалов

Дифференциал суммы Дифференциал разности Дифференциал произведения Дифференциал частного Основные правила вычисления дифференциалов

Слайд 42

Дифференциал сложной функции

Полученная формула допускает важную интерпретацию. Формула для дифференциала сложной функции

Дифференциал сложной функции Полученная формула допускает важную интерпретацию. Формула для дифференциала сложной
оказывается одинаковой независимо от того, является ли φ независимой переменной или функцией.

Слайд 43

Дифференциал сложной функции

Если φ является независимой переменной, то
а если φ является

Дифференциал сложной функции Если φ является независимой переменной, то а если φ
функцией, то также
но только в первой из этих формул dφ представляет собой дифференциал независимой переменной, совпадающий с приращением этой переменной, а во второй формуле это дифференциал функции, который, вообще говоря, с приращением функции не совпадает. Хотя смысл этих формул получается различным, но форма у них одна и та же.
Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.
Имя файла: История-дифференциального-исчисления.pptx
Количество просмотров: 90
Количество скачиваний: 0