Комбинаторика и азартные игры

Вы хотите выиграть миллион ?
Возможны ли расчеты в азартных играх?

« Без учета влияния случайных
явлений человек становится
бессильным направлять развитие интересующих его
процессов в желательном для
него направлении.»
Б. В. Гнеденко

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев общества большое место занимали азартные игры.
В карты и кости выигрывались и проигрывались золото, бриллианты, дворцы и имения. Широко были распространены всевозможные лотереи.
Поэтому первые комбина-
торные задачи касались в
основном азартных игр:
сколькими способами можно выбросить
нужное число очков, бросая кости;
сколькими способами можно получить
двух королей в карточной игре и т.д.

Одним из первых занимался
подсчетом числа различных комбинаций
при игре в кости итальянский
математик Тарталья
Проблемы азартных игр занимали
французских ученых Паскаля и
Ферма.
Они решали комбинатор-
ными методами задачу
о разделе ставки.

В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея, которая сохранилась в некоторых странах до сих пор.
Суть ее в следующем:
участники лотереи
покупали билеты,
на которой стояли
числа от 1 до 90.
Можно было купить
билеты, на которых
было сразу два, три, четыре или пять чисел. В день
розыгрыша из мешка, содержащего жетоны с числами
от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те,
у которых все числа на билете были среди вынутых.
Генуэзская лотерея

Например, если на билете числа 8, 21, 49, а вынутыми оказались числа 3, 8, 21, 37, 49, то билет выигрывал; если же вынули 3, 7, 21, 49, 63. то билет проигрывал – ведь числа 8 среди вынутых не оказалось.
Если участник лотереи покупал билет с одним числом, то он получал при выигрыше в 15 раз больше стоимости билета – если с двумя числами (амбо ), в 270 раз больше, если с тремя числами (терн),то в 5500 раз больше, если с четырьмя (катерн) – в 75000 раз, а если с пятью числами (квин), то в 1000000 раз больше, чем стоит билет.
Многие пытались обогатиться в этой лотереи, но это никому не удавалось – лотерея была рассчитана так, чтобы в выигрыше оставались ее устроители.
Попробуем в этом разобраться.

Сосчитаем отношение «счастливых» исходов лотереи к общему числу ее исходов при различных способах игры:
из мешка с 90 жетонами вынимают 5 жетонов, порядок не играет роли, значит, имеем

2)пусть участник купил билет с 1 номером; для выигрыша необходимо, чтобы этот номер совпал с номером на билете, остальные 4 номера могут быть любыми, эти 4 номера выбираются из оставшихся 89, значит,
- число благоприятных ситуаций.

3)найдем отношение благоприятных комбинаций к общему числу комбинаций:
Значит, на каждый выигрышный билет будет 18 проигрышей. Другими словами, он купить должен 18 билетов, а выиграет он в 15 раз больше стоимости одного билета. Цену трех билетов устроители положат в карман.
Рассмотрим шансы при игре на амбо:

Здесь уже надо купить 801 билет, чтобы получить 2 выигрыша, тогда
801- 2*270=801- 540=261(билет), стоимость этих билетов идет устроителю.
Совсем невыгодна игра на терн:

При игре на катерн:
При игре на квин:

Нетрудно подсчитать самим, каковы потери участников лотереи при этих условиях.
Таким образом, какими бы заманчивыми ни были предложения устроителей лотереи,
выиграть в них практически
НЕВОЗМОЖНО,
предугадать выигрыш
НЕЛЬЗЯ !