Числовая последовательность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть дана функциональная зависимость вида
xn= f (n),
где n- натуральное число. Бесконечная система чисел
xn = { x1 , x2 ,… }
называется числовой последовательностью. Числа x1 , x2 , … – члены этой числовой последовательности, или ее элементы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Числовая последовательность называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если существует такое число M (соответственно m ), что все члены ч.п. не больше (не меньше) этого числа.
Пусть в числовой последовательности, хотя бы начиная с некоторого номера n0 , выполняется неравенство x n+1 > x n то называется строго монотонно возрастающей.
Аналогично определяются монотонно убывающая (x n+1 < x n ), монотонно невозрастающая (x n+1 ≤ x n ), и монотонно неубывающая (x n+1 ≥ x n )). Все такие числовые последовательности называют монотонными, а остальные – немонотонными.

ПРИМЕРЫ БЕСКОНЕЧНЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.
2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.
1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.
1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Аналитический. С помощью формулы n-ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером
хn=3.n+2
x5=3.5+2=17;
Х45=3.45+2=137
Рекуррентный (от слова recursio - возвращаться)
х1=1;
хn+1=(n+1)xn , n=1; 2; 3; …
можно записать с многоточием 1; 2; 6; 24; 120; 720; …
Словесный способ.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих:
2 = 1 + 1;
3 = 2 + 1;…
Последовательность чисел Фибоначчи Филлотаксис (листорасположение) — правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против неё.

П Р О В Е Р Ь С Е Б Я
1; 4; 7; 10; 13;…
10; 19; 37; 73; 145; …
6; 8; 16; 18; 36; …
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Найдите закономерности
А) В порядке возрастания положительные нечетные числа
Б) В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1
В) В порядке возрастания положительные числа, кратные 5
Г) Увеличение на 3
Д) Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза
Е) Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ, РАДИУС ОКРЕСТНОСТИ
Укажите окрестность точки а радиуса r в виде интервала, если:
а) а = 0 r = 0,1
b) a = -3 r = 0,5
в) а = 2 r = 1
г) а = 0,2 r = 0,3
(-0,1, 0,1)
(-3,5, -2,5)
(1, 3)
(-0,1, 0,5)