Комбінаторика, як розділ математики. Сполуки без повторень. Найпростіші комбінаторні задачі

Впорядкована множина
Множина, кожному елементу якої поставлений у відповідність певний номер називається впорядкованою.
Будь-яку впорядковану множину, що містить більше одного елемента можна впорядкувати декількома способами.
Впорядковані множини вважаються різними, якщо вони складаються з різних елементів або мають різний порядок одних і тих же елементів.
Різні впорядковані множини, що відрізняються лише порядком елементів (тобто можуть бути отримані з однієї множини) називаються перестановками цієї множини.

Задача 1
Скількома різними способами можна розставити 3 різнокольорових кубики?
1
2
3
4
5
6

Розділ математики, який досліджує можливі способи утворення різних підмножин з елементів деякої множини за певних умов, називається комбінаторикою.
Задачі, в яких потрібно знайти кількість можливих способів утворення таких підмножин, називаються комбінаторними.

Для розв’язування комбінаторних задач доцільно
використовувати таблиці або будувати «дерево».
Наприклад:
Скільки натуральних трицифрових чисел
можна скласти з цифр 1, 2, 3,
використовуючи в запису числа
кожну з них не більше одного разу?
Складемо таблицю
1
2
3
4
5
6

Розглянемо розв’язування даної задачі побудовою
«дерева» варіантів
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Отже, всього 3∙2∙1 = 3! = 6

В основі розв’язування багатьох комбінаторних задач лежать два основних правила – правило суми і правило добутку.

Правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів.
Правило суми: якщо доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д. елемент, кількості способів вибору кожного елемента додають.
Правило добутку: коли доводиться вибирати набір у який входить і один, і другий, і третій, і т. д. елемент, кількості способів вибору перемножають.

Перестановки множини А (позначається Pn) – це множини, що складаються з тих самих елементів, що й А, але розставлених у різному порядку.
Pn=n! =1∙2∙3∙…∙n=n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙1)
Перестановки

Будь-яка впорядкована підмножина з k елементів даної n-елементної множини називається розміщенням з n елементів по k.
Розміщення

Комбінацією з n елементів по k називається будь-яка невпорядкована, k - елементна підмножина даної
n - елементної множини.
Комбінації

Потренуйтеся працювати з комбінаторними формулами:
1. Обчислити:
4
6
20
4
5
3
2
2. Розв'язати рівняння:
2
2
2
3

Вибір формули у задачах
Чи враховується порядок?
(Чи є множина впорядкованою?)
Усі елементи приймають участь?
Так
Ні
Так
Ні

Потренуйтеся розв'язувати комбінаторні задачі у вигляді тестів на наступних слайдах.

З 30 учасників зборів треба вибрати голову і секретаря. Скількома способами це можна зробити?
870
30!
15
435
інша

Скількома способами можна вибрати трьох чергових з групи в 20 чоловік?
1140
20!
6
6840
інша

Скількома способами можна вісім учнів вишикувати в колону по одному?
40320
8
256
64
інша

У коробці знаходяться 10 білих і 6 чорних куль. Скількома способами з коробки можна витягти одну кулю будь-якого кольору?
16
10
6
60
інша

Маємо чотири різні конверти без марок і 3 різні марки. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для відправки листа?
12
7
4
3
інша