Линейная алгебра. Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Поиск обратной матрицы

Матрицы. Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.
Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические выражения, функции и т.д.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
количество строк
количество столбцов

Матрицы. Основные понятия

Матрицы. Основные понятия
Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, остальные – нулю (обозначается буквой Е):
Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.

Матрицы. Основные понятия
Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы.
Определитель любой единичной матрицы равен единице.
Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица невырожденная.

Действия над матрицами
Равенство матриц
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.

Действия над матрицами
Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового размера, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются.

Действия над матрицами
Умножение матрицы на число
Найти значение выражения:
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.

Действия над матрицами
Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в противном случае произведение не существует.

Действия над матрицами
Найти С = A * B
6
9
1
14
24
4

Действия над матрицами
Свойства операции произведения матриц:
1)
2)
3)
4)
В общем случае для произведения матриц не действует переместительный закон:
иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными.
5)
Единичная матрица является коммутативной для любой квадратной матрицы того же порядка:
6)
Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение определителей равно определителю произведения .

Действия над матрицами
Нахождение обратной матрицы
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом, согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная матрица не существует
Транспонированная матрица получается из матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами
Присоединенная матрица получается путем замены каждого элемента матрицы Ат на его алгебраическое дополнение