Логические выражения

№1 (Демоверсия ФИПИ – 2020)
Напишите наименьшее число X, для которого истинно высказывание:
(x > 16) И НЕ (x нечётное).
Решение:
Преобразуем выражение (уберём НЕ):
(X > 16) И (X чётное)
Между скобками стоит И (конъюнкция), значит, чтобы выражение было истинным, обе скобки должны быть истинными.
Наименьшее число X большее 16 и при этом чётное равно 18.
Ответ: 18

№2 (СтатГрад – октябрь 2019)
Напишите наименьшее двузначное число, для которого истинно высказывание:
НЕ (Первая цифра нечётная) И (Число делится на 3)
Решение:
Преобразуем выражение (уберём НЕ):
(Первая цифра чётная) И
(Число делится на 3)
Число наименьшее и двузначное.
Между скобками стоит И (конъюнкция), значит, чтобы выражение было истинным, обе скобки должны быть истинными.
Т.к. число наименьшее, двузначное и первая цифра чётная (первая скобка), значит первая цифра равна 2.
Из второй скобки: число делится на 3, значит наименьшее двузначное число которое делится на 3 и первая цифра 2 равно 21.
Ответ: 21

№3 (СтатГрад – октябрь 2019)
Напишите наибольшее двузначное число, для которого истинно высказывание:
(Первая цифра нечётная) И НЕ (Число делится на 3)
Решение:
Преобразуем выражение (уберём НЕ):
(Первая цифра нечётная) И
(Число не делится на 3)
Число наибольшее и двузначное.
Между скобками стоит И (конъюнкция), значит, чтобы выражение было истинным, обе скобки должны быть истинными.
Т.к. число наибольшее, двузначное и первая цифра нечётная (первая скобка), значит первая цифра равна 9.
Из второй скобки: число не делится на 3, значит наибольшее двузначное число которое не делится на 3 и первая цифра 9 равно 98.
Ответ: 98

№4 (А.Г. Минак, вариант №4)
Напишите наибольшее число X, для которого ложно высказывание:
(X > 82) ИЛИ НЕ (X чётное).
Решение:
Преобразуем выражение (уберём НЕ):
(X > 82) ИЛИ (X нечётное)
Число X наибольшее.
Между скобками стоит ИЛИ (дизъюнкция), значит, чтобы выражение было ложным, обе скобки должны быть ложными.
(X > 82) - ложно при (X ≤ 82).
(X нечётное) – ложно, когда X – чётно.
Вывод: наибольшее X меньшее либо равное 82 и чётное, равно 82.
Можно преобразовать так (ищем истину):
НЕ ((X > 82) ИЛИ НЕ (X чётное)) =
= НЕ ((X > 82) ИЛИ (X нечётное))
(закон де Моргана)
= (X ≤ 82) И (X чётное) = 82.
Ответ: 82
Законы де Моргана
НЕ (A ИЛИ B) = (НЕ А) И (НЕ B)
НЕ (A И B) = (НЕ А) ИЛИ (НЕ B)

№5 (А.Г. Минак, вариант №8)
Напишите наибольшее число X, для которого истинно высказывание:
НЕ ((X ≥ 23) ИЛИ НЕ (X нечётное)) И НЕ (X > 25).
Решение:
Преобразуем выражение (уберём НЕ):
НЕ ((X ≥ 23) ИЛИ (X чётное)) И (X ≤ 25)
Чтобы выражение было истинно нужно:
НЕ ((X ≥ 23) ИЛИ (X чётное)) – истина
(X ≤ 25) – истина
Преобразуем выражение в скобках:
(X < 23) И (X нечётное) – по закону де Моргана.
(X < 23) И (X нечётное) И (X ≤ 25).
Все три скобки должны быть истинными.
Наибольшее число X, удовлетворяющее данному выражению равно 21.
Ответ: 21
Законы де Моргана
НЕ (A ИЛИ B) = (НЕ А) И (НЕ B)
НЕ (A И B) = (НЕ А) ИЛИ (НЕ B)

№7 (СтатГрад – ноябрь 2019)
Напишите число X, для которого истинно высказывание:
(X < 8) И НЕ (X < 7)
Решение:
Преобразуем выражение (уберём НЕ):
(X < 8) И (X ≥ 7)
Чтобы выражение было истинно нужно:
(X < 8) – истина
(X ≥ 7) – истина
Число X, удовлетворяющее данному выражению равно 7.
Ответ: 7