Параллельные прямые в пространстве. Урок геометрии в 10 классе

РАССМОТРИТЕ КАРТИНКИ И СДЕЛАЙТЕ ВЫВОД, О ЧЕМ ПОЙДЕТ РЕЧЬ НА УРОКЕ

Цели:
Рассмотреть взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых.
Доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности трех прямых.
Закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды.
ТЕМА УРОКА
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВСПОМНИМ ПЛАНИМЕТРИЮ
Каково расположение двух прямых на плоскости?
Какие прямые в планиметрии называются параллельными?

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ (ТРИ СЛУЧАЯ)
Две прямые в пространстве параллельны друг другу, пересекаются или скрещиваются.

ВЫЯСНИ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
А
B
C
D
А1
B1
C1
D1
AB и CD
B1C и C1C
AD1 и A1D
BC и AA1
B1C1 и A1D
II
∩
∩
?
?

КАКИЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ?
Определение
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

1
Дан куб. Являются ли параллельными прямые:
1) АА1 и DD1, АА1 и СС1? Ответ обоснуйте.
2) АА1 и DС? Они пересекаются?
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi
Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

a
b

2
По рисункам назовите:
1) пары скрещивающихся ребер;
2) пары параллельных ребер.

Q
А
С
В
D
N
M
P
РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ
стр.13 № 17
РMNQP - ?
12 см
14 см
Точки М, N, P и Q –
середины отрезков
BD, CD, AB и АС.

А
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
ПОВТОРИМ ПЛАНИМЕТРИЮ. Аксиома параллельности.
а
b
Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
М
a
b
Прямая и не лежащая
на ней точка определяют плоскость
Показать (2)

ПОВТОРИМ ПЛАНИМЕТРИЮ.
Следствие из аксиомы параллельности.
а
c
b
Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых

М
a
Поэтому она пересекает и
параллельную ей прямую b
в некоторой точке N.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.

ПОВТОРИМ ПЛАНИМЕТРИЮ.
Следствие из аксиомы параллельности.
Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

a
b
с
Теорема
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
aIIс, bIIс
Докажем, что aIIb
1) Точка К и прямая а определяют плоскость. Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости
Докажем, что а и b
Лежат в одной плоскости
не пересекаются
2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

А
В
С
Е
F
K
M
Задача Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в
одной плоскости. Точки К и М – середины
отрезков АВ и ВС соответственно.
8см
Докажите, что КМ II EF.
Найдите КМ, если АЕ=8см.

Алгоритм распознавания взаимного расположения двух прямых в пространстве
Лежат
ли в одной
плоскости?
Имеют
хотя бы одну
общую
точку?
Имеют
более одной
общей
точки?
а и в
а = в
а ∩в
а в
а в
Да
Да
Да
Нет
Нет
Нет
ПОДВЕДЕМ ИТОГИ

Найдите на рисунке параллельные прямые.
Назовите параллельные прямые и плоскости.
Найдите скрещивающиеся прямые.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
П. 4, 5 теоремы
Понятия: параллельность отрезков, отрезка и прямой, двух лучей в пространстве
Задачи №16, 18