Matem_AG_v_R3_chast1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
F(x,y,z) = 0

Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
Координаты середины отрезка

1. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве и ее уравнения
1) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
M(x, y, z) – произвольная точка на плоскости P;
M0(x0, y0, z0) – данная точка на плоскости P.
– вектор, перпендикулярный плоскости.
Вектор N принято называть нормальным вектором плоскости.
Точка M(x, y, z) будет лежать на плоскости, если . Уравнение плоскости определяется условием
2) Общее уравнение плоскости

Пример.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;1;1) перпендикулярно к вектору N={2;2;3}.
Решение:

3) Уравнение плоскости в отрезках на осях
здесь числа представляют собой отрезки,
отсекаемые плоскостью на координатных осях.
Приведение общего уравнения плоскости к уравнению в отрезках:

Задача.
Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость
2x – 4y + 6z –12 = 0 ?
Решение: Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:
Ответ: отрезки, отсекаемые на осях: a = 6, b = –3, c = 2.

4) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Даны три точки:
– произвольная точка плоскости.
Точка М принадлежит плоскости
в том и только в том случае, если компланарны векторы:
Условие компланарности в координатной форме и дает искомое уравнение.

5) Нормальное уравнение плоскости

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному уравнению

А=0: By + Cz + D = 0 (отсутствует переменная х) – плоскость параллельна оси Ох;
В=0: Ax + Cz + D = 0 (отсутствует переменная у) – плоскость параллельна оси Оу;
С=0: Ax + By + D = 0 (отсутствует переменная z) – плоскость параллельна оси Оz;
D=0: Ax + By + Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат;
А=В=0: Cz + D = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу;
А=С=0: By + D = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz;
В=С=0: Ax + D = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz;
А=D=0 – плоскость проходит через ось Ох;
В=D=0 – плоскость проходит через ось Оу;
С=D=0 – плоскость проходит через ось Oz;
А=В=D=0: Cz = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу;
А=С=D=0: By = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz;
В=С=D=0: Ax = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz.
Неполные уравнения плоскости

Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей
π1 ⊥π2 , если N1 ⊥ N2 (Критерий ортогональности: скалярное произведение = 0)
π1 ⎢⎢π 2 , если N1 ⎢⎢N2 (Критерий коллинеарности: их координаты пропорциональны или их векторное произведение равно нулю)

Пример.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M(7,-2, 3) параллельно плоскости y – 3z + 5 = 0.
Решение. Из уравнения известной плоскости N={0,1,-3}. По условию плоскости параллельны. Значит,
A = 0, B = 1, C = – 3.
Уравнение искомой плоскости

Пример.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:
x – y + 2z – 5 = 0,
2x + y – 3z + 1 = 0.
Решение. Из уравнений заданных плоскостей имеем
требуется найти координаты нормали искомой плоскости:

1 способ:
2 способ:
Подставляя координаты точки (по условию – начало координат (0,0,0)) и координаты нормального вектора в уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, получаем искомое уравнение:
x + 7y + 3z = 0.

Если два уравнения
определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны
Условие совпадения (слияния) плоскостей

Угол между плоскостями
Один из двугранных углов между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами

Пример. Найти угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости
Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Пример

Прямая в пространстве

1) Общие уравнения прямой в пространстве
2) Канонические уравнения прямой в пространстве
a = {m;n;p} – направляющий вектор прямой;
(x0, y0, z0) – координаты известной точки прямой
3) Параметрические уравнения прямой в пространстве
Прямая в пространстве

Пример.
Составьте канонические и параметрические уравнения прямой
Решение. 1) Находим координаты точки, лежащей на прямой. Для этого положим
, а две другие координаты найдем из системы:

2) Находим направляющий вектор прямой:
3) Канонические уравнения прямой:
Параметрические уравнения прямой:

4) Уравнение прямой в пространстве,
проходящей через две данные точки
и - известные точки на прямой;
- произвольная точка прямой.
Угол ϕ между двумя прямыми в пространстве определяется углом между их направляющими векторами
– направляющий вектор.

Пример.
Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки и
Решение

Пример.

Решение.
Прямые задаются пересечением плоскостей:
Направляющие векторы прямых:

условие параллельности прямых:
условие перпендикулярности прямых
условие того, что прямые лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых
в пространстве

расстояние от точки М1 до прямой, проходящей через точку М0
расстояние между двумя прямыми в пространстве

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Точка пересечения прямой и плоскости
Пример.
Найдите точку пересечения прямой
и плоскости
Решение. 1) Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

2) Подставим выражения для переменных x, y, z в уравнение плоскости и найдем значение параметра t
3) Найденное значение параметра t подставим в параметрические уравнения прямой и получим искомые координаты точки пересечения:

Если угол Ψ острый, то ; если угол Ψ тупой, то ,
то есть .

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
условие параллельности
⎢⎢π ⇔
условие того, что прямая принадлежит плоскости
l ⊂π ⇔
условие параллельности
l ⊥π ⇔