Функция y = tg x её свойства и график

Цель:
Изучить функцию y = tg x
Задачи:
1. Изучить свойства функции у = tg x.
2. Уметь применять свойства функции у = tg x и читать график.
3. Формировать практические навыки построения графика функции у = tg x на основе изученного теоретического материала.
4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

Функция y=tgx определена при x ≠ π/2+πn, n∈Z, является нечётной и периодической с периодом Т=π
Поэтому достаточно построить её график на промежутке [0;π/2).
Используя периодичность, строим график функции y=tg x на всей области определения.
Затем, отобразив её симметрично относительно начала координат, получим график на интервале (−π/2;π/2).

Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке [0;π/2]
Мы получили график функции на заданном промежутке.

Ось тангенсов на тригонометрическом круге
График y=tgx на промежутке (−π/2;π/2).

График функции y=tg x называют тангенсоидой.
Главной ветвью графика функции y=tg x обычно называют ветвь, заключённую в полосе (−π/2;π/2).
График функции y = tg x

Свойства функции y = tg x
1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞; + ∞), кроме x ≠ π/2+πn, n∈Z.
2. Множество значений Е(у) = R
3. Функция периодическая с периодом T= π
4. Функция нечётная tg (-x) = - tg x
(график симметричен относительно начала координат).
5. Функция не ограничена и сверху, и снизу.
6. Функция y=tg x принимает:
- значение, равное 0, при x=πn, n∈Z;
7. Функция не имеет максимального и минимального значения

8. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при
x ∈ (πn; π/2+πn), n ∈ Z
Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при
x ∈ (- π/2+πn; πn), n ∈ Z
9. Функция возрастает на x ∈ [−π/2 + πn; π/2+ πn], n ∈ Z

Решение задач
Решить уравнение
Задача №1
Решение
На промежутке
функция монотонно возрастает, значит, на этом промежутке значение
достигается при единственном значении аргумента
С учетом периодичности получаем

Задача №2
Найти все корни уравнения
принадлежащие отрезку
Решение
Построим графики функций
Графики пересекаются в трёх точках

Задача №3
Постройте график функций а) у = tg 2х; б) у = tgx;
Решение
а)
б)

в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).
Решение
в)
г)

е)
д)

Задача №4
Установить чётность или нечётность функции
Решение
Так как выполнено равенство y(-x) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

Задания для самостоятельного решения
1) Постройте графики функций
а) у = tg(x+ π/3);
б) у = 3-tgx;
в) у = tg (x + π/2)
г) у = tg (x – π/3)
д) у=tgx+5

2) Определить чётность или нечётность функции:

3) Решить графически уравнения:

4) Используя свойства функции у = tg x, сравните числа:
5) Используя свойства функции у = tg x, сравните числа: