Многочлены от одной переменной. Лекция 1

Цели и задачи дисциплины «Алгебра» на 3-ем семестре
Основной целью преподавания дисциплины «Алгебра» на 3-ем семестре является изложение темы «Многочлены».
Задачи дисциплины:
построить кольцо многочленов от одной переменной и рассмотреть в нем вопросы делимости, приводимости и неприводимости многочленов, отделение кратных множителей, разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей;
особо рассмотреть многочлены над основными числовыми полями комплексных, действительных и рациональных чисел, наиболее часто встречающиеся в школьной математике;
построить кольцо многочленов от нескольких переменных, рассмотреть симметрические многочлены и понятия результанта и дискриминанта 2-х многочленов и указать на их применение для решения систем алгебраических уравнений.

Виды учебной работы и объем дисциплины в часах
Лекции 22
Практические занятия 20
СРС 58
Общая трудоемкость 100
Формы контроля 2 к.р. + Экз.

Рекомендуемая литература
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.; Высшая школа, 1979.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре / Санкт-Петербург: Лань, 2002.
Мартынов Л.М. Элементы алгебры и теории чисел – Омск: СибАДИ, 2006. 195с.
Сборники задач:
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ЛЕКЦИЯ 1
Доцент Мартынова Т.А.

ГЛАВА I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основными задачами главы являются рассмотрение вопросов:
Построение кольца многочленов от одной переменной.
Деление с остатком многочленов, схема Горнера.
НОД и НОК многочленов; нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида и его линейного представления.
Свойства взаимно простых многочленов.
Корни многочлена, теоремы о них; теорема тождественности для многочленов.
Приводимые и неприводимые многочлены.
Производная многочлена и формула Тейлора.
Отделение кратных множителей.
Рациональные дроби.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
В школьной алгебре одночленом от переменной x называется алгебраическое выражение вида , где a – некоторое число, x – переменная, m – целое неотрицательное число.
Одночлен axº отождествляется с числом a, так что числа рассматриваются как одночлены.
Далее, одночлены называются подобными, если показатели при переменной x одинаковы.
Подобные одночлены складываются по правилу ,
называемому приведением подобных членов.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Многочленом от переменной x называется алгебраическая сумма одночленов.
В многочлене порядок слагаемых безразличен и подобные одночлены можно соединять, согласно приведению подобных членов. Поэтому любой многочлен можно записать в каноническом виде
с расположением членов в порядке убывания показателей.
Иногда оказывается удобным записывать члены многочлена в порядке возрастания показателей
.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
.
Переменной x можно придавать любые числовые значения и для каждого из них можно вычислить значение многочлена и поэтому многочлен задает функцию от x, называемую целой рациональной функцией.
Два многочлена называются формально равными, если они в канонической записи составлены из одинаковых одночленов.
Ясно, что формально равные многочлены равны и как функции, т.е. принимают одинаковые значения при каждом значении буквы x.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Случаи, когда оно верно, будут описаны ниже.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Наша задача сейчас состоит в том, чтобы несколько расширить понятие многочлена.
Пусть K – некоторое коммутативное кольцо с единицей, и пусть x – переменная буква, посторонняя для кольца K.
Определение 1. Многочленом от переменной x над K будем называть формальное выражение вида
, (1)
где a0, a1, …, an-1, an – элементы кольца K , которые называют коэффициентами многочлена f(x) .
Обратим внимание на то, что в записи (1) знак + и выражения вида при i = 0,1,2,…, n (их называют членами многочлена f(x)) следует пока воспринимать как символы, не имеющие содержательного смысла (считаем, что xº есть пустой символ).

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
, (1)
Определение 2. Коэффициент a0 называется свободным членом многочлена f(x). Если an ≠ 0 , то одночлен называется старшим (высшим) членом и показатель n называется степенью f(x) и обозначается degf(x). Старший член нулевого многочлена o(x)=0 считается равным нулю. Степень нулевого многочлена будем считать равной –1.
Нулевой многочлен отождествляется с нулем кольца K, а ненулевой многочлен нулевой степени вида f(x)= a0 отождествляется с элементом a0 кольца K.
Определение 3. Многочлен, старший коэффициент которого равен единице, называется нормированным.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Определение 4. Два многочлена считаются равными, если равны их степени и соответствующие коэффициенты, т.е. если
,
– многочлены над K, то
.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Обозначим через K[x] множество всех многочленов от переменной x над кольцом K и определим на этом множестве две бинарные операции – сложение и умножение многочленов.
Определение 5. Суммой многочленов
и
называется многочлен
, (2)
где s=max(n,m) и считаем ai=0, если i>n, и bj=0, если j>m .
Таким образом, если многочлены f(x) и g(x) имеют разное число одночленов, то для нахождения их суммы согласно определению надо дописать необходимое число одночленов с нулевыми коэффициентами к одному из них, в котором число одночленов меньше, и затем сложить соответствующие коэффициенты.
.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Определение 5. Суммой многочленов
и
называется многочлен
, (2)
Например, если f(x)=3+4x-5x²+2x³, g(x)=5+2x, то преобразуем g(x) к виду g(x)=5+2x+0x²+0x³, добавив два нулевых одночлена, и тогда суммой f(x) и g(x) будет многочлен
f(x)+g(x)=(3+5)+(4+2)x+(-5+0)x²+(2+0)x³ =
= 8+6x-5x²+2x³ .

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Определение 6. Произведением многочленов
и
и называется многочлен
(3)
где c0=a0b0, c1=a0b1+a1b0, c2=a0b2+a1b1+a2b0,…
, …, cn+m=anbm
(при вычислении коэффициента ck, как и при сложении многочленов, считаем, что ai=0 при i>n и bj=0 при j>m).
Другими словами, для практического нахождения произведения двух многочленов достаточно найти по известным правилам умножения одночленов произведения всех членов первого сомножителя на все члены второго и затем привести подобные члены.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Определение 6. Произведением многочленов
,
и называется многочлен
(3)
где c0=a0b0, c1=a0b1+a1b0, c1=a0b2+a1b1+a2b0,…
, …, cn+m=anbm
Например, если f(x)=3+x+2x², g(x)=5+2x , то
f(x)g(x)=15+11x+12x²+4x³.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Т е о р е м а 1. Для любых многочленов f(x) и h(x) из K[x] имеют место следующие соотношения:
deg(f(x)+h(x)) = max{deg(f(x), degh(x)} (4)
deg(f(x)·h(x)) ≤ degf(x)+degh(x). (5)
Если K – область целостности, то
deg(f(x)·h(x))=degf(x)+degh(x). (6)
◘ В самом деле, соотношения (4) и (5) вытекают непосредственно из определений (2) и (3).
Если в K нет делителей нуля, то из an ≠ 0 и bm ≠ 0 следует cn+m=anbm ≠ 0, что доказывает равенство (6). ◙

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Т е о р е м а 2. 1) Множество K[x] всех многочленов от переменной x с коэффициентами из кольца K относительно определенных выше операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей, содержащим в качестве подкольца кольцо K .
2) Если K – область целостности, то K[x] – область целостности.
◘ 1) Из определения (2) легко вытекает, что операция сложения многочленов обладает такими же свойствами, что и операция сложения элементов кольца K, т.е. ассоциативна, коммутативна;
нулевой многочлен является нейтральным элементом сложения;
для каждого многочлена существует ему противоположный .
Таким образом, множество K[x] всех многочленов с операцией сложения образует абелеву группу.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Т е о р е м а 2. 1) Множество K[x] всех многочленов от переменной x с коэффициентами из кольца K относительно определенных выше операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей, содержащим в качестве подкольца кольцо K .
2) Если K – область целостности, то K[x] – область целостности.
Опираясь на коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность умножения относительно сложения в кольце K, можно доказать, что соответствующими свойствами обладает операция умножения в K[x].
Из сказанного выше вытекает, что алгебра (K[x]; +, ·) является коммутативным кольцом.
Нулевой многочлен и многочлены нулевой степени – это в точности элементы кольца K и результаты операций над ними согласно определениям (2) и (3) совпадают с результатами операции над ними как элементами кольца K. Это означает, что K – подкольцо кольца K[x].
Нетрудно видеть, что многочлен f(x)=1 (где 1 – единица кольца K) играет роль единицы при умножении многочленов.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Т е о р е м а 2. 1) Множество K[x] всех многочленов от переменной x с коэффициентами из кольца K относительно определенных выше операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей, содержащим в качестве подкольца кольцо K .
2) Если K – область целостности, то K[x] – область целостности.
2) Из равенства (6) теоремы 1 вытекает отсутствие делителей нуля в коммутативном кольце K[x] , если таковых нет в кольце K. ◙
Кольцо K[x] называется кольцом многочленов от переменной x над кольцом K.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Замечание. Непосредственно из определения сложения многочленов вытекает, что любой многочлен f(x) является суммой одночленов и поэтому знак + в записи многочлена можно трактовать как операцию сложения многочленов частного вида, а именно одночленов. Ввиду коммутативности операции + имеем
и, следовательно, многочлен f(x) можно записать, расположив его одночлены по убывающим степеням
.

§1. Построение кольца многочленов от одной переменной
Иногда, для краткости, будем записывать многочлен f(x) в виде .
Одночлены с нулевым коэффициентом в дальнейшем, как правило, будем опускать. Понятно, что одночлен при любом неотрицательном целом m согласно правилу умножения многочленов есть m–я степень одночлена x, а одночлен является произведением am на как многочленов.