Слайд 2Докажем, что семейство {Tξ}ξ∈V операторов Дункла является коммутативным относительно композиции.
Теорема 4. Для
![Докажем, что семейство {Tξ}ξ∈V операторов Дункла является коммутативным относительно композиции. Теорема 4.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-1.jpg)
произвольных ненулевых векторов ξ, η ∈ V соответствующие операторы Дункла коммутируют:
TξTη = TηTξ.
Доказательство. Рассмотрим разность
Слайд 3которую перепишем в следующем виде:
![которую перепишем в следующем виде:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-2.jpg)
Слайд 4Очевидно ∂ξ∂η − ∂η∂ξ = 0. Далее, преобразуем выражение
![Очевидно ∂ξ∂η − ∂η∂ξ = 0. Далее, преобразуем выражение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-3.jpg)
Слайд 5Из эквивариантности оператора ∇ вытекает, что
Поэтому рассматриваемая разность может быть преобразована к
![Из эквивариантности оператора ∇ вытекает, что Поэтому рассматриваемая разность может быть преобразована к выражению](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-4.jpg)
выражению
Слайд 6которое симметрично относительно векторов ξ и η. Но это означает, что к
![которое симметрично относительно векторов ξ и η. Но это означает, что к](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-5.jpg)
такому же выражению может быть приведена и разность
Таким образом, получаем следующее соотношение:
Слайд 7Преобразуем правую часть последнего равенства:
![Преобразуем правую часть последнего равенства:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-6.jpg)
Слайд 11Рассмотрим сумму Ω1, которую преобразуем, пользуясь инвариантностью скалярного произведения относительно действия группы
![Рассмотрим сумму Ω1, которую преобразуем, пользуясь инвариантностью скалярного произведения относительно действия группы Коксетера. Получаем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-10.jpg)
Коксетера.
Получаем
Слайд 12Ясно, что при фиксированном β найдется единственный положительный корень α ′, такой
![Ясно, что при фиксированном β найдется единственный положительный корень α ′, такой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-11.jpg)
что sβα = ±α ′. Замечая, что во второй сумме корень sβα находится в числителе и знаменателе, имеем
Слайд 14Заменяя α ′ на α, окончательно получаем, что
Аналогичные рассуждения показывают, что
![Заменяя α ′ на α, окончательно получаем, что Аналогичные рассуждения показывают, что](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-13.jpg)
Слайд 15Меняя в последней сумме α на β и β на α, получаем
![Меняя в последней сумме α на β и β на α, получаем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-14.jpg)
Ω1 = Ω2.
Покажем, что Ω3 = 0. В самом деле, меняя во второй сумме α на β и β на α, и пользуясь инвариантностью скалярного произведения, получаем
Слайд 16По тем же причинам, что и выше вместо sαβ можно писать β
![По тем же причинам, что и выше вместо sαβ можно писать β](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-15.jpg)
′ и считать, что β ′ — положительный корень. И тогда, поскольку sαsβ = ssαβsα,
Слайд 17
Но внутренняя сумма в Ω3 равна нулю в силу леммы 2.1, где
![Но внутренняя сумма в Ω3 равна нулю в силу леммы 2.1, где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/916048/slide-16.jpg)
форма
Итак, для произвольных ξ, η
Теорема доказана!