Коммутативность операторов Дункла

Докажем, что семейство {Tξ}ξ∈V операторов Дункла является коммутативным относительно композиции.
Теорема 4. Для произвольных ненулевых векторов ξ, η ∈ V соответствующие операторы Дункла коммутируют:
TξTη = TηTξ.
Доказательство. Рассмотрим разность

которую перепишем в следующем виде:

Очевидно ∂ξ∂η − ∂η∂ξ = 0. Далее, преобразуем выражение

Из эквивариантности оператора ∇ вытекает, что
Поэтому рассматриваемая разность может быть преобразована к выражению

которое симметрично относительно векторов ξ и η. Но это означает, что к такому же выражению может быть приведена и разность
Таким образом, получаем следующее соотношение:

Преобразуем правую часть последнего равенства:

где

Рассмотрим сумму Ω1, которую преобразуем, пользуясь инвариантностью скалярного произведения относительно действия группы Коксетера.
Получаем

Ясно, что при фиксированном β найдется единственный положительный корень α ′, такой что sβα = ±α ′. Замечая, что во второй сумме корень sβα находится в числителе и знаменателе, имеем

Заменяя α ′ на α, окончательно получаем, что
Аналогичные рассуждения показывают, что

Меняя в последней сумме α на β и β на α, получаем Ω1 = Ω2.
Покажем, что Ω3 = 0. В самом деле, меняя во второй сумме α на β и β на α, и пользуясь инвариантностью скалярного произведения, получаем

По тем же причинам, что и выше вместо sαβ можно писать β ′ и считать, что β ′ — положительный корень. И тогда, поскольку sαsβ = ssαβsα,

Но внутренняя сумма в Ω3 равна нулю в силу леммы 2.1, где форма
Итак, для произвольных ξ, η
Теорема доказана!