Многоугольники

«Каждая решённая мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач»

Задача 1.
В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN – прямой.
Решение.
I способ
Векторный метод
A
B
C
D
M
N
K
высота, проведенная из вершины прямого угла

A
B
C
M
N
K
D
II способ.
Векторный метод и подобие
P
∆CPN~∆AKB ⇒
M – середина AK, значит, AM=MK=PC.
Следовательно, MP=KC.

A
B
C
M
N
K
D
P
III способ
Применение тригонометрии
Убедимся, что
Пусть ∠ACB =∠ABK =α, CN =a, AB = 2a
MP=KC, PN = 0,5BK
∆ABK:
∆ABC:
∆BCN:
∆BMK:
∆BKC:
∆MPN :
⇒∠BMN – прямой.

A
B
C
M
N
K
D
P
IV способ
Тригонометрия и подобие
Пусть ∠ACB =∠ABK =α
∆BKC:
∆ ABK:
∠C=∠K = 90⁰,
⇒∆BCN~∆BKM
⇒
∠MBK = ∠NBC = ?
∆BCN~∆BKM⇒
?
?
?
Рассмотрим ∆BMN и ∆BKC
∠MBN = ?+?, ∠CBK = ?+? ⇒∠ MBN =∠CBK,
⇒
∆BMN ~∆BKC
Значит, ∠BMN =∠BKC = 90⁰.

V способ.
Подобие и вспомогательная окружность
A
B
C
M
N
K
D
∆BDC ~∆BAK
Из условия следует, что BN и BM - медианы
Эти отрезки служат соответственными элементами подобных треугольников.
Отсюда, ∆ BMK~∆ BNC, ∠BMC = ∠BNC
И точки M,N,C,B лежат на одной окружности.
Её диаметр – медиана BN, так как ∠BCN = 90⁰
Таким образом, ∠BMN = 90⁰ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

VI способ.
Обратный ход
A
B
C
M
K
D
P
Предположим, что ∠BMN - прямой, тогда
1)
2)
3)
N
4) MP = KC, MK = PC
Таким образом,
-верно, т. к. ∆PCN - прямоугольный

VII способ. Координатный метод
A
B
C
M
K
D
P
N
x
y
- уравнение прямой AC
BK⊥AC (условие) ⇒
Напишем уравнение прямой BK :
Найдем координаты точки пересечения BK и AC
M – середина AK
Найдем угловые коэффициенты прямых BM и MN по формуле:

Задача №2
Точка E – середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и AC взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O.
Докажите, что площади треугольников AOB и COE равны.
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.
Решение.
O
A
B
C
D
E
(у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне AE)
Вычитая из равных площадей
площадь треугольника AOE, приходим к тому, что и

O
A
B
C
D
E
1) Пусть OE = x
3
4
∆ AOE: ∠O=90⁰, AE=2.
∆ABO: AB=3, ⇒
∆ABE:
15 = 9+4-2∙3∙2∙cosA ⇒ cosA=-
Ответ:

Задача 3
В трапеции ABCD BC и AD – основания. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в ее середине – точке P.
Докажите, что BP - биссектриса угла ABC.
Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP=6.
Решение.
D
C
B
A
P
N
1
2
3
4
5
6
Пусть N – середина AB, NP║AD║BC
∠1=∠3(накрест лежащие)
С учетом условия ∠1=∠2, получаем: ∠2=∠3, то есть ∆ANP – равнобедренный.
∆NPB – равнобедренный, ∠4=∠5
∠4=∠6 (накрест лежащие)
Значит, ∠5=∠6 ⇒ BP - биссектриса

D
C
B
A
P
N
BN =NA=NP
N – центр окружности,
описанной около ∆ABP.
AB - диаметр окружности
⇒∠APB - прямой
AP∩ BC = F
F
∆ CFP = ∆ DAP (по II признаку)
∆ABP =∆FBP (по двум катетам)
6
8
Ответ: 48

Задача №4
В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N- середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K.
Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK.
Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC = 8, AD = 18, AB=CD=13.
Решение.
A
B
C
D
M
N
P
K
(у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне BM)
Вычитая из равных площадей
приходим к тому, что
Аналогично доказываем, что

A
B
C
D
M
N
P
K
13
13
18
8
H
∆BPM~∆NPA
∆PMK~∆AMD
Ответ:

Задача №5.
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой BC.
Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB=13, BC = 10, CD=15, DA = 24.
Решение.
A
N
D
K
C
B
O
Опустим перпендикуляры из точек A D на прямую BC: AN⊥BC, DK⊥BC
Надо доказать, что AN=DK.
Рассмотрим ∆ABC и ∆BCD
∆ ABC можно разбить на два треугольника:
∆ AOB и ∆BOC
∆ BCD можно разбить на два треугольника:
∆ COD и ∆BOC
По свойству площадей:
(по условию)

A
N
D
K
C
B
O
13
15
10
24
H
ANKD - прямоугольник
ABCD - трапеция
Пусть NB = x, NK=AD = 24, тогда
CK = NK-NB-BC = 14-x
∆ANB:
∆DKC:
Так как AN =DK, то приравняем правые части:
AN = 12.
Проведем BH⊥AC. ∆AOB и ∆BOC имеют одинаковую высоту ⇒
Пусть
Ответ:

Задача №6
В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.
Докажите, что ABCD – параллелограмм.
Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60 ⁰.
Решение.
1
2
3
4
5
A
C
D
M
K
B
По условию ∠1=∠2, ∠4=∠5
AKCM – параллелограмм , BC ║AD, ∠2=∠4 (противоположные углы), ∠3=∠4 (соответственные углы при параллельных прямых AK, CM.
∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.
6
KC = AM, AK=CM
∆ABK = ∆CDM (по второму признаку)⇒BK = MD.
Итак, AD=BC, AD║BC (∠2=∠3), а значит, ABCD – параллелограмм (по признаку параллелограмма)

A
D
M
K
B
C
O
60⁰
3
2
BK = AB =3, AM=KC=2, AD =5
∆ABO:
∆ADO:
(2) – (1):
Ответ: