Множественные связи. Порядковые и категоризованные переменные

Линейная зависимость
от нескольких объясняющих переменных
2
Парные коэффициенты корреляции ryx(i) не учитывают влияние на эту связь других переменных x(j). Следовательно, необходим измеритель связи, очищенный от опосредованного влияния других переменных, т.е. дающий оценку тесноты связи между y и x(i) при условии, что ос-тальные переменные зафиксированы на некотором постоянном уровне.
Предположение: простой (линейный) характер влияния всех остальных переменных на y:
Обозначим для удобства y ≡ x(0).
Rij – алгебраическое дополнение для rij в
определителе корреляционной матрицы.
Rij = (–1)i+j det Aij, матрица Aij получена из R
вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Частные (очищенные)
коэффициенты корреляции
3
– частный коэффициент корреляции, коэффициент кор-реляции между переменными x(i) и x(j) при фиксиро-ванных значениях всех остальных переменных.
Случай трех переменных:
Свойства частных коэффициентов корреляции:
Проверка гипотезы о наличии/отсутствии связи, а также построение до-верительного интервала для частного коэффициента корреляции k-по-рядка (при исключении влияния k переменных) происходит по тем же формулам, что и для парного коэффициента корреляции с единственным отличием: объем выборки уменьшается на k.

Численные примеры
4
n = 37 – число исследуемых предприятий легкой промышленности,
x(0) ≡ y – качество ткани (в баллах),
x(1) – среднемесячное число профилактических наладок автоматич. линии,
x(2) – среднемесячное число обрывов нити.
Пример 1:
При нахождении доверительного интервала корректируем n = 37 – 1 = 36.
Связь есть, что согласуется с профессиональными представлениями!

Численные примеры
5
n = 20 – число лет метеонаблюдений,
x(0) ≡ y – урожайность кормовых трав,
x(1) – весеннее количество осадков,
x(2) – накопленная за весну сумма активных (выше +5,5°С) температур.
Пример 2:
Связь со второй переменной не отрицательная, а слабая положи-тельная, что согласуется с профессиональными представлениями!

Множественный
коэффициент корреляции
6
Множественный коэффициент корреляции – коэффициент корреляции между y и линейной функцией регрессии, т.е. между y и наилучшей ли-нейной комбинацией переменных x(1),…,x(p) – той, для которой значение коэффициента корреляции максимально.
Свойства множественного коэффициента корреляции:
1. При предположении о линейности связи
2. Вычисление множественного коэффициента корреляции по корреля-ционной матрице:

Множественный
коэффициент корреляции
7
Свойства множественного коэффициента корреляции:
3. Вычисление МКК по частным коэффициентам корреляции:
4. МКК мажорирует все парные и частные КК, характеризующие стати-стическую связь: где Ij – любое подмножество {1,…,p}, не содержащее j.
5. Присоединение новой переменной не может уменьшить величины R вне зависимости от порядка присоединения:

Проверка гипотезы о наличии
множественной линейной связи
8
1. Выбираем уровень значимости α.
Типичные значения α = 0,05; 0,1; 0,01, 0,001.
2. Вычисляем эмпирическое значение критерия:
3. Вычисляем критическую точку:
FРАСПОБР (α; p; n – p – 1).
4. Сравниваем эмпирическое и критическое значение и делаем вывод:
Если Fэмп > Fкрит , то гипотеза H0 об отсутствии множественной линей-ной связи отвергается при уровне значимости α, связь есть.
Гипотеза о статистической независимости y и x(1),…, x(p) H0: Ry.X = 0.

Корреляционный анализ
порядковых переменных
9
Типовые задачи:
1. Анализ структуры упорядочений.
Точки разбросаны равномерно, нет согласованности между пере-менными.
Часть из p переменных близки между собой.
Часть из n объектов близки между собой.
2. Анализ совокупной согласованности переменных.
## Исследование степени согласованности мнений экспертов.
3. Построение единого группового упорядочения объектов, т.е. ран-жировки x(0), минимально удаленной от x(1),…, x(p).
x(1),…, x(p) – порядковые переменные (обозначающие порядковое место в ряду, отсортированному по соответствующему показателю).
Объединенные ранги:
Если есть неразличимые по некоторому свойству объекты, им всем приписывается единый ранг, равный среднему арифметическому.

Ранговый коэффициент
корреляции Спирмена
10
Базовая формула:
Свойства коэффициента Спирмена:
m(k) – число групп объединенных рангов,
nt(k) – число элементов в каждой групп.
Формула для случая объединенных рангов:

Численные примеры
11
10 инвестиционных проектов,
проранжированных 2 экспертами.
Пример 1:
10 стран, проранжированных по уровню жизни и качеству институтов.
Пример 2:
Недостатки коэффициента Спирмена:
Недостаточная изученность статистических свойств.
Невозможность построения частных коэффициентов корреляции.
Необходимость полного пересчета при добавлении объекта.

Ранговый коэффициент
корреляции Кендалла
12
Базовая формула:
Свойства коэффициента Кендалла:
минимальное число обменов со-седних элементов переменной x(j) для ее приведения к виду x(k).
Расчет числа обменов неудобен, v – также число инверсий (число рас-положенных в разном порядке пар элементов из x(k) и x(j).
Удобно произвести сортировку данных по одной из переменных!

Ранговый коэффициент
корреляции Кендалла
13
Формула для случая объединенных рангов:
Пример 1:
Пример 2:

Проверка гипотезы о наличии
связи между порядковыми переменными
14
Связь есть, если
или
0,915 > СТЬЮДРАСПОБР , 0,915 > 0,392.
0,778 > НОРМСТОБР(0,975) , 0,778 > 0,487.
Неравенства утверждают, что связь есть при уровне значимости α = 0,05.
Доверительный интервал
для коэффициента Кендалла
Интервал приближенный, формулу использовать для больших выборок!

Связь между несколькими
порядковыми переменными
15
Коэффициент конкордации:
n – число объектов,
m – число переменных,
k1,…,km – номера переменных.
– при наличии объединенных рангов.
Свойства коэффициента конкордации:
W(m) ∈ [0;1],
W(m) = 1 при полном совпадении переменных,
W(m) = 0, когда распределение случайно.
Коэффициент конкордации не может быть отрицательным:

Численный пример
16
Ранжировка 10 инвестиционных проектов, осуществленная 3 экспертами.
2 2
2 2 2
4 3

Проверка гипотезы о наличии
связи между несколькими
порядковыми переменными
17
Связь есть, если
Пример 1:
22,35 > 16,92 ⇒ связь между 3 переменными есть при α = 0,05.
Пример 2:
26,88 > 21,03 ⇒ связь между 28 переменными есть при α = 0,05.
Замечание: при большом количестве переменных даже малого значения коэффициента конкордации достаточно для вывода о наличии связи.

Корреляционный анализ
категоризованных переменных
18
x(1), x(2) – категоризованные переменные (переменные, описываемые конечным числом состояний).
## пол, социальная страта, сезон, фирма-производитель,…
Таблица сопряженности:
Статистическая независимость переменных:
Чем больше отклонение, тем больше показатель связи:

Случаи тесной связи
и независимости переменных
19
## x(1) – пол (муж/жен), x(2) – уровень зарплаты (высокая/низкая), n = 100.
Максимально тесная связь, знание значения одной переменной позво-ляет восстановить значение другой.
Полное отсутствие связи, знание значения одной переменной не позволяет сделать никаких выводов о значении другой.
Полное отсутствие связи, знание значения одной переменной не позволяет сделать никаких выводов о значении другой.

Квадратичная сопряженность –характеристика тесноты связи
20
Квадратичная сопряженность: два способа расчета:
Проверка гипотезы о наличии связи:
⇒ связь есть при уровне значимости α.
Коэффициент Крамера:
Недостатком квадратичной сопряженности является неограниченность ее значений: при n → ∞ X 2 → ∞. Следовательно, желательно построить другой показатель, находящийся в привычном диапазоне [0; 1].

Численный пример
21
Зависимость оплаты труда (низкая; средняя; высокая) от образования (неполное среднее; среднее; среднее специальное; высшее; высшее со степенью), n = 300.
Равномерное распределение
56,48 > 26,12 ⇒ связь есть при α=0,001.