Определители

План
Определение, порядок определителя
Миноры и алгебраические дополнения
Свойства определителей
Вычисление определителей: итоги
Понятие обратной матрицы. Алгоритм построения (нахождения) обратной матрицы
Матричные выражения и матричные уравнения

Из истории науки
Швейцарский математик Крамер (G. Cramer, 1704–1752) заложил основы теории определителей, хотя и не предложил для них удобного обозначения (это сделал в 1841 году А. Кэли).
В 1772 году Вандермонд (A.T. Vandermonde, 1735–1796) опубликовал обширное исследование определителей, один из которых носит теперь его имя.
Систематическое изложение этой теории принадлежит Бине (J.F.M. Binet, 1786–1856) и Коши (A.L. Cauchy, 1789–1857). Их труды по теории определителей относятся к периоду 1812–1815гг.

Габриэль Крамер
Gabriel Cramer
1704–1752
Швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли,
один из создателей линейной алгебры.

Определитель (или детерминант) — одно из основных понятий линейной алгебры
Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ХАРАКТЕРИЗУЕТ СОДЕРЖАНИЕ МАТРИЦЫ.
В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, то определитель равен нулю.
Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.

специальные виды определителей
Определитель Вронского (Вронскиан)
Определитель Вандермонда
Определитель Грама
Определитель Якоби (Якобиан)
Циркулянт

1. Определение. порядок определителя
Определение. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) n-го порядка, составленный из элементов квадратной матрицы (n*n) есть алгебраическая сумма n! («эн факториал») слагаемых или число, которое находится по определённым правилам.
Замечание. Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной (или особенной)

Для обозначения определителя квадратной матрицы используется символ:
т.е. элементы матрицы заключаются в прямые вертикальные чёрточки.
Определитель матрицы А также может обозначаться как: det(A), |А| или Δ(A).
Этот символ был введён в 19 веке английским математиком Кэли

Определители второго порядка.
Определение: Определителем или детерминантом второго порядка называется ЧИСЛО
Числа (элементы определителя) a11 и a22 образуют главную диагональ,
элементы определителя a12 и a21 образуют побочную диагональ.

Правило: Чтобы вычислить определитель второго порядка, надо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведения элементов побочной диагонали.
Пример: Вычислить определитель

Определители третьего порядка.
Определение: Определителем или детерминантом третьего порядка называется ЧИСЛО

Замечания
1) Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно использовать следующее правило треугольников:

2) Второй способ вычисления определителя фактически совпадает с первым и
называется способом Саррюса
Суть его состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»,
а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»

3) Определитель 4-го порядка есть алгебраическая сумма 4!=4*3*2*1=24 слагаемых!
Как вычисляются определители, имеющие порядок выше 3-го?
УДОБНЫМ И ЭФФЕКТИВНЫМ способом вычисления определителей и третьего и более высокого порядков является метод
РАЗЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ

Пример. Вычислить определитель
с помощью правила (способа)Саррюса.
Решение

2. Миноры и
алгебраические дополнения
Определение: Минором некоторого элемента называется определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j -ого столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Пример.
1) Составить миноры и определителя 3-го порядка

Минор элемента есть ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 2-ГО ПОРЯДКА, который получается путём зачёркивания 1-й строки и 1-го столбца исходного ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 3-ГО ПОРЯДКА
Аналогично находим минор элемента

2) Вычислить миноры и определителя
Решение

Определение: Алгебраическим дополнением какого-либо элемента определителя есть минор этого элемента, взятый со знаком :
Пример. Для приведенного выше определителя 3-го порядка
записать и вычислить алгебраические дополнения и

Решение
Дан определитель
Согласно определению находим

Замечание
Алгебраическое дополнение элемента совпадает с его минором , если сумма его индексов i+j чётна, и является противоположным числом к минору, если сумма его индексов нечётна
Алгебраическое дополнение используется для вычисления определителей

3. Свойства определителей
Определитель обладает рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычислений
Время, которое затрачивается на вычисление определителя, зависит не только от вашего опыта, но и ОТ ЗНАНИЙ СВОЙСТВ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ: процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат!
Свойства определителей выполняются для определителей любого порядка. Для экономии времени и места рассмотрим эти свойства на определителях второго порядка

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами:
Для доказательства используем определение
2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на (–1):

3. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ:
Пример.
4. Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю:

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю:
6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю
Пример.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в данном столбце (строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые. Элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженный на любой общий множитель λ, то величина определителя не изменится.

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения
10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или строки равна нулю

Какие свойства определителей полезно знать?
1) Величина определителя не меняется при транспонировании. Свойство запоминаем.
2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. На практике лучше не использовать
3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно). Используем там, где это выгодно.
4) Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Пример. Вычислить определитель, используя свойство 9.

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:
1) нулей побольше
2) числа поменьше
3) использовать
золотое правило вычислений определителя

Решение
1. Выбираем строку или столбец: это третий столбец
2. Записываем формулу вычисления определителя

Замечание
Можно упростить запись, если использовать правило знаков:

4. Вычисление определителей (итоги)
1. Значение определителя второго порядка находим по определению:
2. Определитель третьего порядка вычисляем, используя свойство 9, разложив данный определитель по строке или столбцу
3. Для вычисления определителей высоких порядков (выше третьего) используют метод ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА

4. Если в определителе все числа, расположенные ниже или выше главной диагонали, или все числа кроме элементов главной диагонали равны нулю, то он равен произведению элементов главной диагонали.
Например,

5. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН НУЛЮ,
если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы)
Пример.
или
6. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

5. Понятие обратной матрицы
Определение: Если A – КВАДРАТНАЯ НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА, то обратной для нее называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию
Матрицы A и A-1 называются взаимообратными

Обратная матрица определяется единственным образом по формуле
Здесь транспонированная
матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов исходной матрицы

Алгоритм построения (нахождения) обратной матрицы
1. Убедиться, что исходная матрицы не является вырожденной, т.е. убедиться, что
2. Найти алгебраические дополнения исходной матрицы
3. Составить ПРИСОЕДИНЁННУЮ матрицу, элементами которой являются найденные алгебраические дополнения

4. Записать обратную матрицу
5. Проверить правильность решения, т.е. убедиться, что выполняется равенство: или

6. Матричные выражения
Матричное выражение состоит из матриц, связанных операциями сложения, умножения, возведения в степень, транспонирования и др.
Пример матричного выражения:
Продумайте и запишите порядок действий над
матрицами для нахождения значения этого выражения
Замечание. Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей.

Матричные уравнения
Матричное равенство, содержащее неизвестную матрицу, называется матричным уравнением
Например, простейшие из них вида

Замечание
Выполнены все требования, предъявляемые к размерам матриц, входящих в матричные уравнения
Решить матричное уравнение – это значит найти неизвестную матрицу

Рассмотрим решение матричного уравнения вида
Решение

Пример. Решить уравнение
Решение
Задано уравнение вида
После умножения СПРАВА это уравнение на матрицу получаем, что
1. Найдём матрицу, обратную к матрице
по формуле

Вычислим определитель матрицы A:
Найдём миноры и алгебраические дополнения матрицы A:
Составим обратную матрицу

2. Найдём неизвестную матрицу :
3. Проверка