Вычисление площадей фигур с помощью интеграла

Криволинейной трапецией
называется фигура, ограниченная отрезками прямых х = а, х = b, y = 0 и графиком непрерывной функции y = f(x), такой, что f(x)≥0 на отрезке [a;b]
и f(x)>0 при x (а;b).
Отрезок [a;b] называется основанием трапеции.

Формула Ньютона – Лейбница
Площадь криволинейной трапеции

Вычислить площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры равна сумме площадей криволинейных трапеций

Площадь фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций

Площадь фигуры вычисляется как разность площадей криволинейных трапеций на отрезке [a;b]
Если функции у = f(x) и
непрерывны на отрезке [а;b]
и на (a;b), то

Искомая площадь фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох
Если f(x) 0 на отрезке [a; b], то площадь криволинейной трапеции равна

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , осью Ох и прямой, проходящей через точки (4;0) и (1;3).
Решение.
Фигура состоит из криволинейной трапеции и прямоугольного треугольника.

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , осью Ох и прямой, проходящей через точки (4;0) и (1;3).
Решение. Подставив в уравнение прямой y = kx + b координаты заданных точек, получим систему уравнений:
откуда найдём k = - 1, b = 4.
Уравнение прямой АВ: y = 4 - x.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Точки пересечения заданных линий: О(0;0), К(6;0), Р(4;2)
Фигура состоит из криволинейной трапеции и прямоугольного треугольника.

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения
Искомая площадь равна сумме площадей криволинейных трапеций
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x2 , y = 2х – x2 и осью Ох.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций ,
осями абсцисс и ординат.
Решение. Функция возрастает, а у = - x+3 убывает на R, поэтому их графики имеют только одну общую точку. Это точка M(1;2)

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x2 - 2x + 2 и y = - x2+ 6
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения
Искомая площадь равна разности площадей криволинейных трапеций

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x2 +1 и y = x + 3
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения
Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций, опирающихся на отрезок [-1;2].

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x3
и y =
Решение. Найдём точки пересечения этих графиков. Их координаты удовлетворяют системе уравнений:
Откуда находим пределы интегрирования, а затем площадь фигуры по формуле:

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной , линиями
,
–
Решение.

Задача. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = (x + 3)(3 – x), y = 4 и x = 3
Решение.
График функции y = (x + 3)(3 – x)
или
Координаты вершины параболы В(1;4)
Искомая площадь равна разности площадей криволинейных трапеций

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осями координат
Решение.
Заданная фигура представляет собой криволинейную трапецию, лежащую «ниже» оси Ох.

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;4).
Решение. Первый способ.

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;4).
Решение. 2 способ.
Подставив в уравнение прямой y = kx + b координаты заданных точек, получим систему уравнений:
откуда найдём k = - 1, b = 4.
Уравнение прямой АВ: y = - x + 4.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Решение. Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения
Искомая площадь равна разности площадей криволинейных трапеций

По рисункам 31 – 36 назвать из каких фигур состоит фигура , площадь которой вычисляется, и указать пределы интегрирования.