Слайд 2Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения
![Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-1.jpg)
некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.
Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.
Слайд 3Классификация задач оптимизации
* Последний тип задач является самым сложным и требует точного
![Классификация задач оптимизации * Последний тип задач является самым сложным и требует точного составления оптимизационной модели.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-2.jpg)
составления оптимизационной модели.
Слайд 4Параметрическая оптимизация
Постановка задачи:
Требуется найти значения управляемых параметров х1,х2...хк при которых критерий оптимальности
![Параметрическая оптимизация Постановка задачи: Требуется найти значения управляемых параметров х1,х2...хк при которых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-3.jpg)
Q= f(x1, x2 ..xk) достигнет max (min) значения и будут выполнены прямые и функциональные ограничения
Слайд 5Структура оптимизационной модели
Целевая функция (критерий оптимальности)
состоит из управляемых переменных;
неуправляемых переменных;
формы
![Структура оптимизационной модели Целевая функция (критерий оптимальности) состоит из управляемых переменных; неуправляемых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-4.jpg)
функции (вида зависимости между ними).
Область допустимых решений
область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.
Слайд 6Постановка задачи оптимизации
![Постановка задачи оптимизации](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-5.jpg)
Слайд 7Задачи оптимизации различают:
В зависимости от управляемых параметров:
одномерная оптимизация (оптимизация 1 параметра),
двухмерная/многомерная оптимизация
![Задачи оптимизации различают: В зависимости от управляемых параметров: одномерная оптимизация (оптимизация 1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-6.jpg)
(оптимизация 2 или более переменных).
В зависимости от критерия оптимальности:
- однокритериальная (критерий оптимальности = 1),
- многокритериальная (критериев оптимальности > 1) .
Слайд 9Линейное и нелинейное программирование
Задача линейного программирования
(ограничения и целевая функция представляют собой
![Линейное и нелинейное программирование Задача линейного программирования (ограничения и целевая функция представляют](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-8.jpg)
линейные функции, то есть, многочлены первой степени)
Задача нелинейного программирования
(ограничения, либо целевая функция (либо и то, и другое) выражены в нелинейном виде)
Слайд 10Методы линейного программирования
(наиболее распространенные)
![Методы линейного программирования (наиболее распространенные)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-9.jpg)
Слайд 11Задача двухпараметрической оптимизации
Пример 1
Производственная задача
Цех может производить стулья и столы. На производство стула
![Задача двухпараметрической оптимизации Пример 1 Производственная задача Цех может производить стулья и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-10.jpg)
идет 5 единиц материала, на производство стола - 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человеко-часов, стол - 15. Имеется 400 единиц материала и 400 человеко-часов. Прибыль при производстве стула - 45 долларов США, при производстве стола - 80 долларов США. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?
Слайд 12Задача двухпараметрической оптимизации
Составим оптимизационную модель в общем виде:
Пусть управляемые параметры (параметры, значения
![Задача двухпараметрической оптимизации Составим оптимизационную модель в общем виде: Пусть управляемые параметры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-11.jpg)
которых требуется оптимизировать) это кол-во изготовленных стульев – Х1 и кол-во изготовленных столов – Х2.
Критерий оптимальности - прибыль, которая должна быть максимальной, тогда целевая функция будет выглядеть:
Есть ограничения по материалу и человеко-часам, которые можно представить в виде:
Однако, так как управляемые параметры натуральные числа, то они должны быть больше или равны 0.
Слайд 13Задача двухпараметрической оптимизации
Решим задачу графическим методом:
1 этап – Построение области допустимых решений
![Задача двухпараметрической оптимизации Решим задачу графическим методом: 1 этап – Построение области](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-12.jpg)
(ОДР).
ОДР образуется в результате пересечения всех ограничений (в примере их 4), поэтому поочередно построим их на графике
Слайд 14Построение ограничений
ограничение – это уравнение прямой.
Найдем точки пересечения прямой с осями координат
Точка
![Построение ограничений ограничение – это уравнение прямой. Найдем точки пересечения прямой с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-13.jpg)
1, если Х1=0, то Х2=400/20=20,
Точка 2, если Х2=0, то Х1=400/5=80,
НО прямая – это знак =, а у нас неравенство,
поэтому зону точек при которых неравенство не выполняется необходимо вычеркнуть из возможных вариантов ответа.
Аналогично, строятся остальные ограничения.
Слайд 15Задача двухпараметрической оптимизации
2 этап – построение линий уровня (линий постоянного значения функции)
Т.к.
![Задача двухпараметрической оптимизации 2 этап – построение линий уровня (линий постоянного значения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-14.jpg)
значение функции прибыли неизвестно и нужно найти ее максимум в ОДР, присвоим ей произвольное значение (П) и построим на графике.
П1=1600,
подставим в целевую функцию и построим как ограничение.
Слайд 16Задача двухпараметрической оптимизации
Далее строим еще линию уровня c другим значением прибыли.
П2=800,
подставим
![Задача двухпараметрической оптимизации Далее строим еще линию уровня c другим значением прибыли.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-15.jpg)
в целевую функцию и построим как ограничение.
Таким образом, на графике видно, что функция увеличивается смещаясь вверх вправо, а прямая, проходящая через пересечение ограничений, находится в зоне ОДР (только точка с прямой) и будет выше и правее остальных – тут прибыль принимает максимальное значение в области ограничений.
Слайд 17Задача двухпараметрической оптимизации
Чтобы записать ответ, найдем координаты точки, опустив перпендикуляры к осям.
Получилось
![Задача двухпараметрической оптимизации Чтобы записать ответ, найдем координаты точки, опустив перпендикуляры к](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1021538/slide-16.jpg)
Х1 =16, Х2 =16.
Подставим в функцию прибыли
Пмакс=45∙16+80∙16=2000.
Ответ: в рамках ограничений по ресурсам и человеко-часам максимальная прибыль 2000 долларов США будет получена, если изготовить 16 стульев и 16 столов.