Основы матричной алгебры

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Операция умножения матриц имеет смысл в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго сомножителя.
Если А, В – это матрицы, то элементы матрицы (АВ) получаются в результате алгебраического сложения произведений элементов соответствующей строки матрицы А и соответствующего столбца матрицы В.
Если матрица А имеет n столбцов, матрица В n строк, то элемент матрицы (АВ) с троке i и в столбце j вычисляется по следующей формуле:
(АВ)i,j= Ai,1В1,j + Ai,2B2,j + Ai,3B3,j + …+Ai,nBn,j
Обратим внимание на тот факт, что в общем случае умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. результат умножения зависит от порядка сомножителей ( АВ ≠ ВА)!
Пример.
Матрица А Матрица В Матрица АВ
3 4 5 2*4 + 3*8 = 32 2*5 + 3*9 =37
6 7 8 9 6*4 + 7*8 = 80 6*5 + 7*9=93

На основе операции умножения можно определить понятие целой положительной степени матрицы. Степень матрицы – это матрица, полученная путём многократного умножения на саму себя:
Аn = А А А А …А (n раз)
Частный случай умножения: одна из матриц-сомножителей имеет один столбец или одну строку. Если считать матрицу строку или матрицу-столбец формой представления вектора, то мы получаем правило умножения матрицы на вектор.
Пример.
Матрица А Матрица В Матрица АВ
2 3 1 1*1 + 2*2 + 3*3 = 14
5 6 2 4*1 + 5*2 + 6* 3 = 32
7 8 9 3 7*1 + 8*2 +9*3 =50

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР
Если А – это матрица, h – это скалярная величина (число), то результатом умножения А на h считается такая матрица (hА), элементы которой получаются в результате умножения каждого элемента матрицы А на число h (это же определение даёт правило деления матрицы на число).
(hАi,j) = h.А i,j
Пример.
Матрица А Скаляр h=2 Матрица hА
3 4 6
6 7 12 14

ОПЕРАЦИЯ ТРАНСПОРТИРОВАНИЯ МАТРИЦЫ
Операция транспортирования матрицы – это замена всех строк матрицы на столбцы, а всех столбцов - на строки.
При этом первая строка становится первым столбцом и наоборот _ первый столбец – первой строкой. То же самое происходит с другими строками и столбцами.

При транспортировании квадратной матрицы меняются местами все элементы, которые симметричны относительно главной диагонали.
Кроме обычного транспортирования можно рассматривать транспортирование «по побочной диагонали». При этом первая строка матрицы меняется с последним столбцом так, что первый элемент в строке становится последним элементом в столбце.
Пример.
Исходная матрица А

Алгебраические свойства матриц
КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой количество строк и столбцов равно.
ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме элементов на главной диагонали.
Пример. 32 0 0
0 93 0
0 0 98
ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1. Обычно единичную матрицу обозначают буквой Е.
Пример. 1 0 0
Е= 0 1 0
0 0 1

КОММУТАТИВНЫЕ МАТРИЦЫ.
Две матрицы называются коммутативными (перестановочными), если произведение матриц не зависит от порядка сомножителей.
СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ.
Симметричность матрицы означает, что операция транспортирования матрицы не изменяет вид матрицы – матрица симметрична относительно своей главной диагонали.
Очевидно, что любая диагональная или единичная матрица симметрична.
Пример.
Матрица А Матрица А*
1 2 3 1 2 3
2 1 4 2 1 4
3 4 1 3 4 1

ЗАДАЧИ.
Задача 1. Дана квадратная матрица действительных чисел А. Получить новую матрицу с помощью операций матричной алгебры (вычислить значение матричного выражения).
Е – это единичная матрица,
I – матрица со всеми единичными элементами,
2 – скаляр. Все матрицы имеют одинаковые размеры.
2( А2 + Е + I)