Первообразная

Определение производной функции?
Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента , стремиться к нулю.

Устная работа
1
сosх
sinх+12

Устная работа

Используя определение производной функции, решают ряд задач в алгебре, физике, химии.
Рассмотрим физический смысл производной.
материальная
точка
s(t) закон
движения

Задача: Точка движется прямолинейно по закону
s(t) = t3+ 2t ( где s(t) – измеряется в м).
Найдите скорость точки в момент времени t=2с.
Решение:
v(t) =
v(2) =
3t2 + 2
Ответ: 14 м/с.

Что мы сделали за часть урока?
Повторили определение производной функции и формулы дифференцирования.
Решили задачу на применение производной:
зная закон движения, нашли скорость при
заданном времени.
В математике часто приходиться решать
обратную задачу:
зная скорость найти закон движения.

Задача:
По прямой движется материальная точка, скорость которой в момент времени t задается формулой v(t) = 3t2. Найдите закон движения.
Решение:
Пусть s(t) – закон движения
надо найти функцию, производная которой равна 3t2 .
Эта задача решена верно, но не полно.
Эта задача имеет бесконечное множество решений.
3t2
3t2
3t2
3t2
можно сделать вывод, что любая функция вида s(t)=t3+C является решением данной задачи, где C любое число.

При решении задачи, мы, зная производную функции, восстановили ее первичный образ.
Эта операция восстановления - операция
интегрирования.
Востановленная функция – первообразная
( первичный образ функции)
Операция
дифферен-цирования
функция y = F(х) (первообразная)
Операция
интегри-
рования
y = f(х)
производная

y = F(x) называют первообразной для y = f(x) на промежутке X, если при x ∈ X
F'(x) = f(x)
Определение первообразной

Операция
дифферен-цирования
функция y = F(х) (первообразная)
y = f(х)
производная
Операция
интегри-
рования
В математике много операций которые
являются обратными
32 = 9
?
?
Сегодня мы познакомились с новой операцией
интегрирование
дифференцирование
?

Запомните:
Первообразная – это родитель
производной:

Задача:
Найдите все первообразные
для функций:
f(х)=3
f(х)= х2
f(х)=cosx
f(х)=12
f(х)=х5

Три правила нахождения первообразных
Если функции у=f(x) и у=g(x) имеют на промежутке
первообразные соответственно у=F(x) и у=G(x), то

Самостоятельно
Для функции y=f(x) найдите хотя бы одну первообразную:

Первообразная
С какой новой операцией вы познакомились?
Подведем итоги урока.
Нахождение первообразной функции.
Как называется процесс нахождения
первообразной функции?
Интегрирование.
Что значит найти первообразную
для функции?
Найти первичный образ функции, т.е. вид функции до того как нашли её производную.
Интегрирование – это операция, которая является обратной для операции….
дифференцирования.