Основные приёмы решений тригонометрических уравнений

Сопоставьте следующие колонки таблицы:

Решить уравнения:
1).
Решение:
Ответ:
2).
Решение:
Ответ:

3)
ООУ:
Решение:
Ответ:

Метод введения вспомогательной переменной.
№1.
Решение:
Замена:
Не имеет решений
Ответ:

№2.
Решение:
Не имеет решений
Ответ:
Воспользуемся формулой:
Получаем:

Метод разложения на множители.
№3.
Решение:
О.О.У.:
Данное решение не удовлетворяет О.О.У.
Ответ:
.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

№ 4
Решение:
Воспользуемся формулой разности косинусов:
Не имеет решений
Ответ:

Однородные уравнения.
№5
Решение:
данная система не имеет решений
Следовательно, cos x = 0 не является корнем данного уравнения и обе части уравнения можно поделить на cos x, т.к. при этом не произойдёт потери корней.
Получим уравнение
Ответ:
- однородное уравнение 1-ой степени
Пусть
Тогда и sin x = 0, получим систему:
Разделим обе части уравнения на, Это можно сделать, т.к.

№ 6 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2
Решение:
3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Переносим все члены уравнения в одну часть:
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0
данная система не имеет решений
Следовательно, cos x = 0 не является корнем данного уравнения и обе части уравнения можно поделить на cos 2 x, так как при этом не произойдет потеря корней.
Получим уравнение
tg2x + 4tg x + 3 = 0
Делаем замену tg x = t
t5 + 4t + 3 = 0
t1 = -1, t2 = -3
tg x = -1
tg x = -3
Ответ:
Разделим обе части уравнения на cos2x 0.

Неоднородные уравнения.
№ 7
Решение:
Поделим обе части уравнения на
Получим уравнение
Замечаем, что
, т.е. имеем уравнение
Применяем формулу синуса разности:
Ответ:

Решение:
Поделим обе части уравнения на
Получим уравнение
Замечаем, что
, т.е. имеем уравнение:
В данном случае синус и косинус имеют нетабличные значения, поэтому получается очень некрасивое уравнение. Тогда для решения этого уравнения лучше воспользоваться следующим способом.