Основы дисперсионного анализа

Разделы лекции
Основные понятия дисперсионного анализа
Однофакторный дисперсионный анализ
Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
Ранговые методы анализа
5.1. Однофакторный анализ Краскела-Уоллиса
5.2. Двухфакторный анализ Фридмана

1. Основные понятия дисперсионного анализа
Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результаты эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.
Фактор (факторы) − то, что, как предполагается, должно оказывать влияние на конечный результат.
Примеры: способ крепления детали при её обработке; режим функционирования прибора; технология производства продукта; методика обучения и т. д. Факторы носят качественный характер.
Уровни фактора (градации) – конкретная реализация фактора. Например, если требуется выяснить, какой вид удобрений наиболее эффективен для получения наибольшего урожая, то фактор − удобрение, а его уровни − виды удобрений.
Отклик – значения измеряемого признака, то есть величина результата. Например, урожайность при использовании различных видов удобрений.

Задача дисперсионного анализа – по результатам наблюдений над случайной величиной Y оценить зависимость её математического ожидания (среднего) от рассматриваемых факторов.

Модели дисперсионного анализа
Два вида факторов: со случайными уровнями и с фиксированными.
1. Модель с фиксированными уровнями факторов (модель I)
Все уровни фиксированы (остаются одними и теми же). Выводы применимы только к тем уровням факторов, которые привлекались для исследования.
2. Модель со случайными уровнями факторов (модель II)
Выбор уровней производится из бесконечной совокупности возможных уровней и сопровождается рандомизацией. Выводы по эксперименту можно распространить на всю генеральную совокупность.
3. Модель смешанного типа (модель III)
Часть факторов рассматривается на фиксированных уровнях, а уровни остальных выбираются случайным образом.

Допущения дисперсионного анализа:
случайные ошибки эксперимента имеют нормальный закон распределения с нулевым средним и неизвестной дисперсией;
случайные ошибки эксперимента не коррелированы между собой и имеют одинаковую (неизвестную) дисперсию (эксперименты равноточны).
В зависимости от числа источников дисперсии различают однофакторный (ANOVA − Analysis of Variance) и многофакторный дисперсионный анализ (MANOVA – Multivariate Analysis of Variance).

2. Однофакторный дисперсионный анализ
Исходные данные для однофакторного анализа

Влияние уровней фактора на распределение случайной величины

Математическая модель

Расчётные формулы

Схема однофакторного дисперсионного анализа

Проверка гипотезы в однофакторном дисперсионном анализе

Пример 1
Исследовалось влияние трёх видов катализаторов А1, А2, А3 на выход целевого продукта (в т). Данные представлены в таблице:
Требуется выяснить, влияет ли вид катализатора на выход продукта. Принять уровень значимости α = 0,05.

Решение примера 1

Оценки дисперсий:

Решение примера 1 в MS Excel
(инструмент «Однофакторный дисперсионный анализ»)

Линейные контрасты

Пример 2

3. Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
Требуется оценить влияние факторов на результат.

Математическая модель

Схема двухфакторного дисперсионного анализа без повторений

Гипотезы в двухфакторном дисперсионном анализе без повторений

Проверка гипотез в двухфакторном дисперсионном анализе без повторений

Пример 3

Решение примера 3

Решение примера 3 (продолжение)

4. Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

Математическая модель

Схема двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями

Гипотезы в двухфакторном дисперсионном анализе с повторениями

Пример 4
Исследовалось влияние на процесс органического синтеза двух типов растворителей (A1и A2) и трёх галогеналкилов (B1, B2 и B3). При каждом сочетании типа растворителя и галогеналкила сделано четыре параллельных опыта. Результаты (выход полимера в процентах) представлены в таблице. Требуется оценить значимость влияния типа растворителя и галогеналкила на процесс снтеза при уровне значимости α=0,05.

Решение примера 4

Решение примера 4 (продолжение)

5. Однофакторный анализ Краскела-Уоллиса

Вычисление критерия Краскела-Уоллиса при наличии связанных рангов

Пример 5
В таблице приведены данные о содержании иммуноглобулина IgA в сыворотке крови (в мг %) у больных четырёх возрастных групп.
Проверить гипотезу о том, что содержание иммуноглобулина у всех возрастных групп совпадает. Принять α=0,05.

Решение примера 5
Исходные данные:

6. Двухфакторный анализ Фридмана

Коэффициент конкордации Кендалла

Пример 6
Киноплёнка четырёх видов была представлена трём экспертам для определения лучшей из них. Каждому эксперту предложили упорядочить плёнки по степени предпочтения. Баллы (ранги), проставленные экспертами, приведены в таблице. Наибольший балл соответствует плёнке самого лучшего качества.
Требуется определить, различаются ли виды плёнок и согласованы ли оценки экспертов.

Решение примера

Заключение
Рассмотрены основные понятия дисперсионного анализа.
Приведены расчетные формулы для проведения однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа, а также для проведения множественных сравнений.
Рассмотрены однофакторный анализ Краскела-Уоллиса и анализ Фридмана.
Приведены примеры проведения дисперсионного анализа.

Литература
Вадзинский Р. Статистические вычисления в среде Excel. Библиотека пользователя. – СПб. : Питер, 2008. – 608 с.
Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. Учеб. пособие для хим.-технол. спец. вузов.-М., Высш. шк., 1985.-327 с.
Вуколов Э.А. Основы статистического анализа.Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL.: учебное пособие. – М., Форум, 2008. – 464 с.