Слайд 2Предмет комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения
![Предмет комбинаторики Комбинаторика – это раздел математики, который изучает задачи выбора и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-1.jpg)
элементов из некоторого множества в соответствии с заданными правилами.
Типичные задачи комбинаторики:
«Сколькими способами можно сделать … ?», «Сколько вариантов существует … ?», «Сколькими способами можно выбрать столько-то объектов?» и т.п.
Слайд 3Предмет комбинаторики
Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности
![Предмет комбинаторики Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-2.jpg)
случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин.
Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для понимания статистических закономерностей.
Слайд 4Правила комбинаторики
1. Правило суммы
Если некоторые k действий взаимно исключают друг друга, причем
![Правила комбинаторики 1. Правило суммы Если некоторые k действий взаимно исключают друг](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-3.jpg)
первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами, третье – n3 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то выполнить одно любое из этих действий можно числом способов, равным:
Слайд 5Правила комбинаторики
2. Правило произведения
Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие
![Правила комбинаторики 2. Правило произведения Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-4.jpg)
можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье – n3 способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий могут вместе быть выполнены числом способов, равным:
Слайд 6Факториал
Факториал – операция произведения всех натуральных чисел от единицы до заданного n
![Факториал Факториал – операция произведения всех натуральных чисел от единицы до заданного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-5.jpg)
включительно:
Например:
По определению:
Слайд 7Свойства факториала
Отношение двух факториалов упрощается следующим образом:
![Свойства факториала Отношение двух факториалов упрощается следующим образом:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-6.jpg)
Слайд 8Перестановки без повторений
Число перестановок определяет, сколькими способами можно переставить n элементов множества.
Если
![Перестановки без повторений Число перестановок определяет, сколькими способами можно переставить n элементов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-7.jpg)
элементы множества можно считать различными, то применяется формула подсчета числа перестановок без повторений:
Слайд 9Перестановки с повторениями
Если в рассматриваемом множестве присутствуют одинаковые элементы, причем элементов первого
![Перестановки с повторениями Если в рассматриваемом множестве присутствуют одинаковые элементы, причем элементов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-8.jpg)
типа n1 штук, элементов второго – n2 штук, третьего – n3 и т.д. до k-го типа элементов, общее число которых равно nk, то применяется формула подсчета числа перестановок с повторениями:
Слайд 10Сочетания без повторений
Число сочетаний определяет, сколькими способами можно выбрать m элементов из
![Сочетания без повторений Число сочетаний определяет, сколькими способами можно выбрать m элементов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-9.jpg)
множества, состоящего из n элементов.
Если элементы множества можно считать различными, то применяется формула подсчета числа сочетаний без повторений:
Слайд 11Сочетания с повторениями
Если в множестве присутствуют одинаковые элементы, причем число различных типов
![Сочетания с повторениями Если в множестве присутствуют одинаковые элементы, причем число различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-10.jpg)
элементов равно n, и из них требуется выбрать m элементов (причем все m элементов могут быть одного типа), то применяется формула подсчета числа сочетаний с повторениями:
Слайд 12Размещения без повторений
Число размещений определяет, сколькими способами можно выбрать m элементов из
![Размещения без повторений Число размещений определяет, сколькими способами можно выбрать m элементов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-11.jpg)
множества, состоящего из n элементов, и в каждой выборке переставить их местами.
Если элементы множества можно считать различными, то применяется формула подсчета числа размещений без повторений:
Слайд 13Размещения с повторениями
Если каждый из n элементов множества можно выбирать неоднократно, то
![Размещения с повторениями Если каждый из n элементов множества можно выбирать неоднократно,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/851428/slide-12.jpg)
применяется формула подсчета числа размещений с повторениями: