Оценки параметров распределения

Математическая статистика
Задачи математической статистики:
1) определение способов сбора статистических данных,
2) разработка методов анализа статистических данных:
а) расчет оценок (оценка вероятности, оценки параметров известного распределения и др.),
б) проверка статистических гипотез.

Выборочный метод
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.
1) Сплошное обследование всех элементов совокупности
Может оказаться невозможным из-за большого или бесконечного объема исследуемой совокупности, физического уничтожения объектов при изучении, экономических причин.
2) Выборочный метод
Изучение ограниченного числа объектов, случайно отобранных из совокупности.

Выборочный метод
Генеральная совокупность – совокупность объектов, из которой производится отбор.
Выборочная совокупность (выборка) - совокупность случайно отобранных объектов.
Объем совокупности (генеральной или выборочной) – количество объектов в этой совокупности.
Выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна хорошо отражать пропорции генеральной совокупности.
Для этого выборка должна быть случайной: все объекты генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку.

Оценки параметров распределения
Задача: нахождение оценок параметров распределения случайной величины на основании выборки.
Случайная величина X представляет собой генеральную совокупность бесконечного объема.
Выборка x1…xn образована n значениями случайной величины, полученными в результате независимых наблюдений.
Распределение случайной величины X (генеральная совокупность) описывается параметром a.
Путем обработки n значений случайной величины X (выборка) можно получить оценку данного параметра.

Оценки параметров распределения
Виды оценок:
1) Точечная оценка ã параметра a определяется одним числом, наиболее близким к параметру a.
2) Интервальная оценка [ã1; ã2] параметра a определяется в виде доверительного интервала, задаваемого своими границами ã1 и ã2, между которыми с заданной доверительной вероятностью p находится параметр a.
Оценки вычисляются на основании выборки x1…xn.

Точечные оценки
Точечная оценка ã параметра a представляет собой случайную величину на множестве выборок из одной и той же генеральной совокупности.
Требования к точечным оценкам:
1) Несмещенность. Несмещенная оценка - оценка ã, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра a при любом объеме выборки.
2) Эффективность. Эффективная оценка - оценка ã, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.
3) Состоятельность. Состоятельная оценка - оценка ã, которая при объеме выборки n → ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Используется для выборок большого объема.

Точечная оценка
математического ожидания
Точечной оценкой математического ожидания M(X) случайной величины X является выборочное среднее:
Выборочное среднее является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой.

Точечная оценка дисперсии
Точечной оценкой дисперсии D(X) случайной величины X является выборочная дисперсия:
Выборочная дисперсия является состоятельной, но смещенной оценкой.

Точечная оценка
дисперсии
Точечной оценкой дисперсии D(X) случайной величины X является исправленная дисперсия:
Исправленная дисперсия является состоятельной и несмещенной оценкой.

Точечная оценка
среднего квадратического отклонения
Точечной оценкой среднего квадратического отклонения σ(X) случайной величины X является исправленное среднее квадратическое отклонение:
Исправленное среднее квадратическое отклонение является состоятельной, но смещенной оценкой.

Точечная оценка
среднего квадратического отклонения
Несмещенной точечной оценкой среднего квадратического отклонения σ(X) случайной величины X является исправленное среднее квадратическое отклонение, умноженное на поправочный коэффициент k(n):
Коэффициент k(n) зависит от объема выборки и изменяется: от k(n) = 1,13 при n = 3 до k(n) ≈ 1,03 при n → ∞.
Данная оценка является состоятельной и несмещенной.

Точечная оценка ско
среднего арифметического
Точечная оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического одинаково распределенных независимых случайных величин X1…Xn связана с оценкой среднего квадратического отклонения SX отдельной случайной величины Xi (i = 1…n) соотношением:

Интервальные оценки
Интервальная оценка параметра a задается в виде доверительного интервала [ã1; ã2] и доверительной вероятности p:
Положение границ интервала ã1 и ã2 зависит от доверительной вероятности p, значение которой выбирают близким к единице: 0,95; 0,99.
q = 1 - p — уровень значимости.

Интервал для значений
случайной величины
При нормальном распределении случайной величины X с математическим ожиданием M(X) и ско σ(X) с доверительной вероятностью p значение случайной величины X принадлежит интервалу:
– оценка математического ожидания M(X);
– оценка ско σ(X);
– квантиль стандартного нормального распределения порядка (1+p)/2.

Доверительный интервал для
математического ожидания
При нормальном распределении случайной величины X с математическим ожиданием M(X) и неизвестным ско σ(X) с доверительной вероятностью p математическое ожидание M(X) принадлежит интервалу:
– оценка математического ожидания M(X);
– оценка ско выборочного среднего;
– квантиль распределения Стьюдента
порядка (1+p)/2 с (n – 1) степенями свободы.

Распределение Стьюдента
Случайная величина T имеет распределение Стьюдента с k (k > 0) степенями свободы, если
Z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение: M(Z) = 0, σ(Z) = 1;
Y – случайная величина, имеющая распределение χ2 с k степенями свободы;
Z и Y – независимые случайные величины.
С возрастанием числа степеней свободы k распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному распределению.

Доверительный интервал для
среднего квадратического отклонения
При нормальном распределении случайной величины X с ско σ(X) с доверительной вероятностью p ско σ(X) принадлежит интервалу:
– оценка ско σ(X);
– квантили распределения χ2 порядка (1-p)/2 и (1+p)/2 с (n – 1) степенями свободы.