Параллельность прямых и плоскостей (1)

Параллельные прямые в пространстве
Определение:
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.
Значит, через две параллельные прямые можно провести плоскость и только одну.
a ΙΙ b

Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.
M є b
a ΙΙ b

Лемма
a ΙΙ b
a ∩ α
b ∩ α
Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость.

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
a ΙΙ b
a ΙΙ c
b ΙΙ c

Задача 1.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
a є α
a ǁ α
Параллельность прямой и плоскости

a ││b
b
a ││
a
b
Теорема (признак)
Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Следствие 10
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
a
b II a

Следствие 20
Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
a II b

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
Определение
a
b
Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и лежат в разных плоскостях.

Признак скрещивающихся прямых
Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.
b є α
a ∩ α = M
M є b

Свойство скрещивающихся прямых
Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

Параллельность плоскостей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак
плоскости α и β,
a ∩ b, a1∩b1,
a и b лежат в α,
a1и b1 лежат в β.
α II β
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 2.

Свойства
1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.
α II β
γ ∩ α = a
γ ∩ β = b

Задача 3.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Свойства
2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
α II β
a II b
AD = BC
α
β
a
b
А
B
C
D

ВЫДЕЛЯЕМ ГЛАВНОЕ

ВЫДЕЛЯЕМ ГЛАВНОЕ

РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Задача 4.

РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Задача 5.