Первообразная и интеграл

Содержание
Первообразная
Интеграл
а) неопределённый
б) определённый

Первообразная

Определение
Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на промежутке Х, если
На практике промежуток Х обычно не указывают, но подразумевают (область определения функции).
Например: функция у = х² является первообразной для функции у=2х, т.к. для любого х справедливо
(х²)´ = 2х.

Теорема 1
Если функция f(х) непрерывна при
, то для f(х) существует первообразная F(х) на Х.

Теорема 2
Если F(x) одна из первообразных функции f(x), на промежутке Х, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид у = F(x)+C.

Таблица первообразных
Зная формулы для нахождения производных, можно составить таблицу для нахождения первообразных

Правила нахождения первообразных
Первообразная суммы равна сумме первообразных
Если F(x) – первообразная для f(x), то к·F(x) – есть первообразная для к· f(x).
Если F(x) – первообразная для f(x), то первообразной для функции у= f(кx+m) служит функция у = 1/к· F(кx+ m)

Найдём одну из первообразных
Если f(x) равно:
1) f(x)=2х+х³
2) f(x)=4х-2
3) f(x)=х³-3х²+х-1
4) f(x)=4х⁵+2х+е
5) f(x)=х⁴+3х²+5
6) f(x)=5cosx-3sin2x
Значит F(x) равно:
F(x)= х²+х⁴⁄4
F(x)=2х²-2х
F(x)=х⁴⁄4-2х³+х²⁄2-х
F(x)=2х⁶⁄3+х²+ех
F(x)=х⁵⁄5+х³+5х
F(x)=5sinx+3/2cosx

Ответить на вопрос:
какая функция является перообразной для функции f(x)= 2sinx – cosx?
А) cosx - 2sinx
Б) 2cosx - sinx
В) -2cosx - sinx
Г) –cosx + 2sinx
Ответ: в

Выберите ответ, при котором предложение будет верно.
Функция F(x) является первообразной для функции f(x),
если: А) F'(x) = f(x)
Б) F'(x) = - f(x)
В) f'(x) = F(x)
Г) f(x) = F(x)
Ответ: А

Ответить на вопрос: для какой функции первообразной является функция F(x)=2x³+6x²+x-9?
А) f(x) = 1/4·x⁴+2x³+x²-9x
Б) f(x) = 2x⁴+6x³+x²-9x
В) f(x) = 6x²+12x+1
Г) f(x) = x⁴⁄2+2x³+1/2·x²-9x
Ответ: Г

Ответить на вопрос: производная какой из функций равна у = 4х - 3х²?
А) F(x) = 2x³-2x²+C
Б) F(x) = 2x²-1/3·x+C
В) F(x) = 2x²-x³+C
Г) F(x) = 4x²-x⁴+C
Ответ: В

Задание №1. Найдите первообразную функции f(x), график которой проходит через точку А.
а) f(x)=5х+х², А(0;3) б) f(x)=3х - 5, А(4;10)
Решение. а) Найдём первообразные
F(x)= 5х²⁄2+х³⁄3+ С, где С – произв.число.
Найдём это С:
т.к. график проходит через точку А(0;3), то
F(0)= 5·0²⁄2+0³⁄3+ С = С и равно 3. С=3
Значит производная, график которой проходит через т. А, имеет вид:
F(x)= 5х²⁄2+х³⁄3+3.

б) f(x)=3х - 5, А(4;10)
Решение. F(x)= 3х²⁄2-5х+С, где С – произв. число.
F(4)= 3·4²⁄2-5·4+С=24-20+С=4+С и
4+С=10 => С=6, тогда
F(x)= 3х²⁄2-5х+6
Ответ: F(x)= 3х²⁄2-5х+6

Самостоятельно
Найдите первообразную функции f(x), график которой проходит через точку А, если:
1) f(x)=х²-5, А(3;4)
2) f(x)=2х²+3, А(-2;-5)
3) f(x)=(х-2)², А(0;2)
4) f(x)=cos3x, А(0;1)

Проверим ответы
1) F(x)= х³⁄3 - 5х + 10
2) F(x)= 2х³⁄3 + 3х + 6(1/3)
3) F(x)= х³⁄3 - 2х² + 4х + 2
4) F(x)= 1/3·sin3x + 1

Задание №2. Найдите первообразную функции f(x), значение которой при х = х₀ равно у₀.
а) f(x)=10х⁴+х; х₀=0; у₀=6
Решение. F(x)= 10х⁵⁄5 + х²⁄2 + С = 2х⁵+ х²⁄2 +С, где С – произв. число.
Найдём С. Т.к. по условию F(x₀)=у₀,
то F(0)=2·0⁵+0²⁄2+С=С и равно у₀= 6.
Значит ответ: F(x)=2х⁵+х²⁄2+6

б) f(x)=2sin3x+4cos(x/2); х₀=π⁄3; у₀=0
Решение.
F(x)=-2·1/3·cos3x+4·2 sin(x/2)+С=
=-2/3·cos3x+8· sin(x/2)+С, где С- пр. ч.
Найдём С. Т.к. по условию F(x₀)=у₀,
то F(π⁄3)=-2/3·cos π+8sin(π/6)+С=
=2/3+8·1/2+С=4(2/3)+С и равно 0.
Тогда С = -4(2/3).
Значит F(x)=-2/3·cos3x+8· sin(x/2)-4(2/3)

в) f(x)=4+6х²; х₀=2; у₀<0
Решение. F(x)= 4х+6х³⁄3+С, где С-п.ч.
Найдём С: т.к. F(х₀)= у₀ , то
F(2)= 4·2+6·2³⁄3+С= 8+16+С=24+С
и 24+С <0 => С <-24.
Пусть это будет (-25).
Тогда ответ F(x)= 4х+6х³⁄3-25

г) f(x)=2х³+х²+3; х₀=1; у₀>0
Решение. F(x)= 2х⁴⁄4+х³⁄3+3х+С, где С- пр.ч.
Найдём С.
F(1)= 2·1⁴⁄4+1³⁄3+3·1+С = 3(5/6)+С,
но 3(5/6)+С>0 => С > - 3(5/6)
Пусть С=-1, тогда
F(x)= 2х⁴⁄4+х³⁄3+3х-1

Задание №3. Найдите множество первообразных функции f(x).
а) f(x) =sin²x б) f(x) = sin5x·cos6x
Решение.
а) т.к. f(x) =sin²x
= (1 - cos2x)/2 = ½ - 1/2·cos2x,
то одна из первообразных равна:
F(x)=1/2·x - 1/4·sin2x.
Тогда множество всех перообразных равно F(x)=1/2·x-1/4·sin2x + С, где С –пр. число

б) f(x) = sin5x·cos6x
Решение. т.к. f(x) = sin5x·cos6x =
=1/2·(sin11x-sinx),
то множество всех первообразных данной функции будет равно
F(x) =1/2·(-1/11·cos11x +cosx)+C =
= 1/2· cosx – 1/22 ·cos11x + С

ИНТЕГРАЛЫ

ИНТЕГРАЛ
Неопределённый
интеграл
Определённый
интеграл
Обозначение:

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ
ИНТЕГРАЛ

Определение:
Множество всех первообразных функции f(x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается

Основные свойства неопределенного интеграла.
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределённых интегралов

Таблица интегралов

Определение
Процесс нахождения интеграла называется интегрированием
Интегрирование является операцией, обратной
дифференцированию

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ
ИНТЕГРАЛ

Определение
Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть F(x) – некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

Определение
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная
графиком функции f(x),
графиками х=а и х=в, и осью ОХ
а
в

Формула Ньютона-Лейбница
Теорема: если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а;в], то справедлива формула
Опираясь на эту формулу получаются следующие свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции
Схематично изобразить график функции f(x).
Провести прямые x=a и x=b.
Записать одну из первообразных F(x) функции f(x).
Составить и вычислить разность
F(b) – F(a).
F(x)=… …
S = F(b) – F(a)=…- …

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями, используя формулу Ньютона-Лейбница
Вариант 1
f(x) = 2x – 3
y = 0,
x = 3,
x = 5
Вариант 2
f(x) = – 2x – 3
y = 0,
x = – 5,
x = – 3

Рассмотрим графики функций
f(x) = 2x – 3
f(x) = – 2x – 3
у
у
х
х
3
5
-5
-3

Проверим решение
Если f(x) = 2x – 3
Вариант 1.

Проверим решение
Если f(x) = – 2x – 3
Вариант 2.

Вычисление площади плоских
фигур с помощью определенного интеграла
Площадь фигуры (S), ограниченной прямыми х = а и х = в и графиками функций у = f(x) и y = g(x),
непрерывных на отрезке [а;в] и таких, что для любого хє[а;в] выполняется неравенство g(x)≤ f(x), вычисляется по формуле:

Например:
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной графиками функций

Построим графики функций

Значит
Пределы интегрирования: от-2 до1
f(x)= - x²-2x+3 g(x)=x² - 1
Тогда
=

=

Запомним
Геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции
Физический смысл определенного интеграла – это…
(учебник: стр. 291)

Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой
у =f(x) отрезком оси абсцисс a ≤ x ≤ b и прямыми x=a; x=b, вычисляется по формуле

Например
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями
у= х² и у = √х

Построим графики функций
х

Решение
Искомый объем можно найти как
разность объемов, полученных
вращением вокруг оси Ox
криволинейных трапеций,
ограниченных линиями у=√х и
у = х². Т.е.:

=

Применение интеграла
Площадь фигуры
Объем тела вращения
Работа электрического заряда
Работа переменной силы
Масса
Перемещение
Дифференциальное уравнение
Давление
Количество теплоты