Параллельные плоскости

Расположение плоскостей в пространстве.
α ∩ β
α и β совпадают
α ⎜⎜ β

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Плоскости
Пересекаются
Параллельны
β
α
α || β
α ∩ β

Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Дано:
а⊂ α; в⊂α; а∩в=М;
а1 ⊂ β; в1⊂ β;
а║а1; в║в1
Доказать,
что α || β
α
β
а
b
М
b1
а1
М1

Доказательство от противного
α
β
а
b
М
b1
а1
М1
с
а ⊂α; а1⊂ β; а║а1?а║β
в ⊂ α; в1 ⊂ β; в║в1?в║β
Пусть α ∩ β = с
Тогда
а || β, α ∩ β = с? а || с.
b || β, α ∩ β = с?b || с.
а ∩ в=М; а║с; и в║с?а||b
Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
Предположение α ∩ β = с - неверно

Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?

Задача № 51.
(еще один признак параллельности)
Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α,
т || β, п || β.
Доказать: α || β.
1) Допустим, что ___________
2) Так как __________________,
то ______________________.
Получаем, что
______________________________________________________.
Вывод:
α ∩ β = с
п || β, т || β
т || с и п || с
через точку К проходят две прямые параллельные прямой с.
α || β

Задача № 53. Дано: отрезки А1А2, В1В2, С1С2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О. Доказать: А1В1С1║А2В2С2.
Доказательство:
А1А2, и В1В2 лежат в одной плоскости по следствию из А1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).
А1В1А2В2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А1В1║ А2В2
Аналогично А1А2, и С1С2 лежат в одной плоскости. А1С1А2С2 - параллелограмм.
Отсюда, А1С1 ║ А2С2
А1В1 ∩ А1С1 =А1; А2В2 ∩ А2С2 = А2.
По признаку параллельности плоскостей А1В1 С1║А2В2С2.
А1
В1
А2
В2
С2
С1
О

Отвечаем на вопросы
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости α?
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α?

Проверяем свою работу
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
Плоскости α и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости α? Да
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α? Да

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Дано:
α ⎜⎜ β, α ∩ γ = a
β ∩ γ = b
Доказать: a ⎜⎜ b
Доказательство:
1. a ⊂ γ, b ⊂ γ
2. Пусть a ⎜⎜ b,
тогда a ∩ b = М
3. M ∈ α, M ∈ β
⇒ α ∩ β = с (А2)
Получили противоречие с условием.
Значит a ⎜⎜ b ч. т.д.

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Свойства параллельных плоскостей.
Доказать: АВ = СD
Дано:
α ⎜⎜ β, АВ ⎜⎜СD
АВ ∩ α = А, АВ ∩ β = В,
СD ∩ α = С, СD ∩ β = D
Доказательство:
1. Через АВ ⎜⎜СD проведем γ
2. α ⎜⎜β, α ∩ γ = a, β ∩ γ = b
3. ⇒ АС ⎜⎜В D,
4. АВ ⎜⎜СD (как отрезки парал. прямых)
5. ⇒ АВСД – параллелограмм (по опр.)
⇒ АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

№55 ( еще одно свойство )

Решение задачи № 58.(еще одно свойство)
Доказать: β пересекается с γ
Дано:
α ⎜⎜ β, α пересекается с γ (рис)
Доказательство:
Пусть γ пересекает α по прямой а.
Проведем в плоскости γ прямую b, пересекающую α.
Прямая b пересекает α, поэтому она пересекает параллельную ей плоскость β (задача № 55).
Следовательно, и плоскость γ, в которой лежит прямая b, пересекает плоскость β.
Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей и , то она пересекает и другую плоскость.

Решите задачи и проверить.

Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник АВВ1А1: АВ||А1В1 (по свойству 1), АА1||ВВ1 ( АА1 ϵ а, ВВ1 ϵ b, а||b), => АВВ1А1 – параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, АВ = А1В1. Ч.т.д.
Доказательство:
Проведем плоскость γ ч/з пересекающиеся прямые а и b : γ∩α= АВ, γ∩β=А1В1.
По свойству 1: АВ||А1В1. Ч.т.д.

4
Доказательство:
По свойствам 1 и 2 четырехугольники АСС1А1, ВСС1В1, АВВ1А1 – параллелограммы. В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, АС=А1С1, ВС=В1С1, АВ=А1В1, тогда ∆АВС=∆А1В1С1. Ч.т.д.
Решение:
АВ||А1В1 по 1 свойству
Рассмотрим ∆АОВ и ∆А1ОВ1: они подобны по первому признаку подобия. Из этого следует: ОА/ОА1=ОВ/ОВ1=АВ/А1В1, тогда 5/3=4/ОВ1=АВ/6 => АВ=10, ОВ1= 2,4.

№60
Если две плоскости и параллельны плоскости , то плоскости и параллельны.
Признак параллельности трех плоскостей
Признак 3

D
Е
М
С

D
А
Концы отрезков АВ и СD лежат на параллельных плоскостях
и . Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостью и плоскости ВDC с плоскостью .
В
С

D
А
В
С

Плоскости и параллельны, прямые a и b пересекаются в точке М. Прямая a пересекает плоскости и соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает плоскость в точке А1.
Постройте точку
пересечения
прямой b с
плоскостью .
Поясните.
a
b
A
B
М
A1

a
a1
A
A1
B

Плоскости и параллельны, прямая a пересекает плоскости и соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает – в точках С и D. Найдите взаимное положение прямых a и b. Поясните.
a
b
B
D
A
C

Плоскости и параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые a и b пересекают плоскость соответственно в
точках В и А,
в плоскость –
в точках Е и F.
a
b
A
Е
B
М
F

А1
В1
С1
А2
С2
В2
№53
М
Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной
плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны

A
D
C
№ 54. Точка В не лежит в плоскости треугольника АDC, точки М, P, N – середины сторон АВ, ВС, ВD соответственно.
а) Докажите, что плоскости МРN и АCD параллельны.
б) Найдите площадь треугольника МPN, если площадь треугольника АСD равна 48 см2.

D
Е
М
Р
А
С
В
№1Дано: ЕМС = МСА и РЕВ = ЕВС. Докажите, что плоскости МЕР и АВС параллельны.

D
К
Е
М
А
С
В
№2 Дано: Докажите, что плоскости
ЕКМ и АВС параллельны.

Е
М1
А
С
В
№3 Дано: EF II E1F1, EM II E1M1.
Доказать: DFM = DF1M1.
Е1
М
F
F1
D

C1
a
b
№4 Дано: a II b II c и не лежат в одной плоскости,
АВ II А1В1 и ВС II B1C1.
Доказать: АС = А1С1.
B1
A1
c
C
B
A