Перпендикулярность прямой и плоскости

Содержание

Слайд 2

Задание

1. Записать определение перпендикулярности прямой и плоскости (с чертежём)
2. Записать две теоремы,

Задание 1. Записать определение перпендикулярности прямой и плоскости (с чертежём) 2. Записать
без доказательства. 3.Записать признак перпендикулярности ( без доказательства ,с чертежём)

Слайд 3

(Повторение)Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90о

а

b

с

а

(Повторение)Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними
⊥ b

c ⊥ b

α

Слайд 4

( повторение)Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,

( повторение)Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,
то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

A

C

a

α

M

b

c

Дано: а || b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c

Доказательство:

Слайд 5

Определение:Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей

Определение:Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей
в этой плоскости

α

а

а ⊥ α

Слайд 6

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и

Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то
другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

α

х

Дано: а || а1; a ⊥ α

Доказать: а1 ⊥ α

Доказательство:

Слайд 7

Теорема 2

α

Доказать: а || b

Доказательство:

Если две прямые перпендикулярны к плоскости,

Теорема 2 α Доказать: а || b Доказательство: Если две прямые перпендикулярны
то они параллельны.

Дано: а ⊥ α; b ⊥ α

M

с

Слайд 8

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,
в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.

α

q

Доказать: а ⊥ α

Доказательство:

p

m

O

Дано: а ⊥ p; a ⊥ q
p ⊂ α; q ⊂ α
p ∩ q = O

Слайд 9

α

q

l

m

O

a

p

B

P

Q

Доказательство:

L

а) частный случай

A

α q l m O a p B P Q Доказательство: L а) частный случай A

Слайд 10

α

q

a

p

m

O

Доказательство:

а) общий случай

a1

α q a p m O Доказательство: а) общий случай a1

Слайд 11

Теорема 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и

Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости,
притом только одна.

α

а

М

b

с

Доказать:
1) ∃ с, с ⊥ α, М ∈с;
2) с – !

Доказательство:

Дано: α; М ∉α

Слайд 12

Задача

Найти: MD

А

В

D

M

Решение:

Дано: ΔABC;
MB ⊥ BC; MB ⊥ BA;
MB = BD =

Задача Найти: MD А В D M Решение: Дано: ΔABC; MB ⊥
a

Доказать: МB ⊥ BD

C

a

a

Слайд 13

Задача 128

Доказать: OМ ⊥ (ABC)

Дано: ABCD - параллелограмм;
AC ∩ BD =

Задача 128 Доказать: OМ ⊥ (ABC) Дано: ABCD - параллелограмм; AC ∩
O; М ∉(ABC);
МА = МС, MB = MD

А

В

D

C

O

М

Доказательство:

Слайд 14

Задача 122

Найти: AD; BD; AK; BK.

А

В

D

C

O

К

Решение:

12

16

Задача 122 Найти: AD; BD; AK; BK. А В D C O К Решение: 12 16

Слайд 15

Перпендикуляр и наклонные

М

А

В

Н

α

МН ⊥ α

А ∈ α

В ∈ α

МА и МВ –

Перпендикуляр и наклонные М А В Н α МН ⊥ α А
наклонные

Н ∈ α

АН и ВН – проекции
наклонных

МН – перпендикуляр

М ∉ α

Слайд 16

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к

Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно
ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

А

Н

М

α

β

а

Дано: а ⊂ α, АН ⊥ α,
АМ – наклонная,
а ⊥ НМ, М ∈ а

Доказать: а ⊥ АМ

Доказательство:

Слайд 17

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание
перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

А

Н

М

α

β

а

Дано: а ⊂ α, АН ⊥ α,
АМ – наклонная,
а ⊥ АМ, М ∈ а

Доказать: а ⊥ НМ

Доказательство: