Распределение хи-квадрат

Если на величины Xi (i=1,…,n) наложено r связей, то число степеней свободы k=n-r.
Плотность этого распределения определяе-тся: 0≤χ2<∞,
где -
гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода). В частности Г(n+1)=n!.

Из определения плотности вероятности распределения χ2 следует, что распределение “хи-квадрат” определяется одним параметром – числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение “хи-квадрат” медленно приближается к нормальному.

При k=n>30 χ2 – распределение достаточно хорошо представляется нормальным законом с M[χ2]=n и D[χ2]=n. На рисунке показано, как изменяется характер распределения χ2 при увеличении числа степеней свободы k.

6.6. Распределение Стьюдента
Пусть случайные величины Z, X1, X2, …, Xn подчинены нормальному закону распределения с нулевым средним и произвольной дисперсией. Пусть далее величина Z не зависит от Xi, i = 1, …, n, и среди Xi имеется ровно k линейно независимых величин.

Тогда случайная величина
имеет распределение Стьюдента (t-распределение), с плотностью распределения

Заметим, что t-распределение не зависит от σ2. Величина t, определенная для нормированных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией, также распределена по закону Стьюдента.
Распределение Стьюдента симметрично относительно начала координат. С возрастанием числа степеней свободы быстро приближается к нормальному закону распределения.

Для нормированных СВ распределения Стьюдента приближается к нормальному закону с характеристиками M[t] = 0 и
D[t] = k / (k – 2).

6.7. F-распределение Фишера
Если X и Y – независимые случайные величины, распределенные по закону χ2 со степенями свободы k1 и k2 , то величина имеет F- распределение Фишера со степенями свободы k1 и k2.

Плотность этого распределения определяется выражением

F-распределение Фишера характеризуется 2 параметрами - числами степенями свободы k1 и k2.

6.8. Первичная обработка результатов измерений
Первичная обработка результатов измерений состоит из последовательного выполнения следующих шагов.

1.Построение случайной выборки измерений и простого статистического ряда.
2.Построение вариационного ряда
3.Грубые ошибки измерений. Исключение грубых ошибок.
4.Оценка математического ожидания случайной величины.
5.Оценка дисперсии случайной величины.
6.Оценка вероятности случайного события.
7.Оценка функции и плотности распределения случайной величины.

Рассмотрим более детально вопросы исключения грубых ошибок и оценки вероятности случайного события.
Получив выборку наблюдений случайной величины Х с функцией распределения F(x) следует убедиться, что она действительно соответствует этой функции распределения.

Так как в процессе измерений предполагаемая статистическая обстановка может нарушиться и среди реализаций xi могут появляться ошибочные, т.е. не соответствующие F(x) значения.
Обычно в качестве ошибочных подразумевают xmin и xmax и их называют грубыми ошибками, если установлено их несоответствие закону F(x).

Если F(x) известно, то вопрос об ошибоч-ности xmax может быть решен следующим образом. Зная F(x), можно найти
F(n)(x) – функцию распределения
X(n) = Xmax.
Тогда задаваясь вероятностью β≅1 практически достоверного события,
из уравнения
можно найти границу tβ, правее которой

появление реализации xmax в соответствии с принципом практической уверенности невозможно.
Отсюда следует решающее правило: если xmax ≥ tβ, то xmax считают грубой ошибкой, в противном случае xmax считают согласующейся с законом распределения F(x).
В случае независимых измерений

Аналогично решается вопрос об ошибочности xmin . Здесь определяется граница tα из условия:
где α=1-β - вероятность практически невозможного события.
Затем применяют решающее правило принципа практической уверенности:

xmin – грубая ошибка, если xmin < tα ; xmin не противоречит F(x) – в противном случае.
При независимых измерениях tα находится из уравнения:
Чаще F(x) бывает неизвестной. Тогда для решения поставленной задачи применяют частные приемы.

Например, если F(x) нормального закона распределения с неизвестными параметрами m = M[X] и σ2 = D[X], то строят вспомогательную случайную величину
где – оценка
среднеквадратического отклонения

Затем устанавливают ее функцию распределения FT(t) = P(T < t) далее находят верхнюю границу tβ допустимых значений Т из уравнения FT(tβ) = β = 1 – α.
Верхней границей допустимых значений xmax становится величина

В итоге получаем следующее частное решающее правило: если
то она считается соответствующей нормальному распределению;
в противном случае величина xmax считается грубой ошибкой.

Анализ ошибочности xmin выполняется аналогично по решающему правилу:
то xmin считается соответствующей нормальному закону; в противном случае величину xmin считают грубой ошибкой.
Для определения границ tβ составлены специальные таблицы, входом которых служат n и α=1-β.

Оценим вероятность Р(А)=р появления события А в n опытах.
В качестве оценки рассмотрим частоту событий:
p* = m*/n,
где m* - число опытов, в которых наблюдалось событие А,
n – общее число опытов.

Из т.Бернулли следует, что оценка вероятности события р* является состоятельной, является оценкой сходящейся по вероятности к оцениваемому параметру.
Определим математическое ожидание и дисперсию оценки р*. Т.к. m* - случайная величина, распределенная по биномиальному закону с математическим ожиданием
M[m*] = np и дисперсией D[m*] = npq, то