Применение комплексных чисел на практике

1. Историческая справка
Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году.
Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).
Символ i предложил российский ученый Л. Эйлер (1777, опубликовано1794).
Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).
Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803).
В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).
Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).
Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.

Основные понятия
Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi , где a и b действительные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством i2=-1.
Действительные числа: z=a+0i=a, z=Re z.
Мнимые числа: z=0+bi=bi, z=Im z.
Равные комплексные числа: z1=a+bi, z2=c+di,
z1=z2, если a=c, b=d.
Противоположные комплексные числа:
z=a+bi,
z=-a-bi.
Сопряженные комплексные числа:
z=a+bi,
z=a-bi.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Комплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной декартовой системе координат либо точкой М(а; в), либо радиус – вектором этой точки
r =ОМ=(а; в).

Модуль и аргумент комплексного числа
Модуль комплексного числа
Аргумент комплексного числа
Arg z =ϕ +2πn,
n∈z,
ϕ = arctg b/a,
-π < ϕ ≤ π.

Найти модуль комплексного числа
Вычислить
По знакам и определить четверть, в которой заканчивается искомый угол
Найти аргумент комплексного числа , используя следующие равенства:
первая четверть:
вторая четверть:
третья четверть:
четвертая четверть:
Записать комплексное число в тригонометрической или показательной форме.
Алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной

6. Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая
z =a + bi
Тригонометрическая
z = r (cos φ + i sin φ)
Показательная
z = r e iφ ,
e iφ = (cos φ + i sin φ) – формула Эйлера

Комплексные числа в экономике
Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел …….