Производная функции

Из истории;
Понятие о производной;
Правила вычисления производной: -Основные правила дифференцирования, -Производная степенной функции.
Производная сложной функции: -Сложная функция, -Производная триногометрических функций;
Применение.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др

Понятие о производной
Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение
∆f/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx
при ΔX, стремящемся к нулю.

Основные правила дифференцирования
Правило №1. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0,то их сумма дифференцируема в этой точке (u+v)'= u'+v'.
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Лемма. Если функция f дифференцируема в точке x0,то она непрерывна в этой точке: ∆f→0 при ∆x→0, т.е.
f(x0+∆x )→(x0) при ∆x→0.

Правило №2. Если функции u и v дифференцируема в точке x0,то произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)'=u'v+uv'.

Следствие.Если функция u дифференцируема в точке x0,а С-постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и (Cu)'=Cu'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Правило №3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x0 и
(u/v)'=u'v-uv'/v².

Производная степенной функции:
Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)
(xⁿ)'=nxⁿ־¹.

Целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.

Производная сложной функции:
Если функция f имеет производную в точке x0,а функция g имеет производную в точке y0=f(x0), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке x0 причём h'(x0)=g'(f(x0))·f '(x0).

Производные тригонометри -
ческих функций:
Формула производной синуса: Функция синус имеет производную в любой точке и (sin x)'=cos x.

Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса: функции y=cos x, y=tg x, y=ctg x имеют производные вкаждой точке своей области определения,
и справедливы формулы:
(cos x)'=-sin x,
(tg x)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.

(sin x)'=cos x
(cos x)'=-sin x,
(tgx)'=1/cos² x,
(ctg x)'=-1/sin²x.

Производные широко применимы в настоящее время, например, в экономическом анализе. Они помогают точно вывести данные об изменении экономики государства. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как можно увеличить доход государства и за счёт чего он может быть увеличен