Системы уравнений

Метод подстановки;
метод алгебраического сложения;
метод введения новых переменных;
графический метод.

Если поставлена задача – найти такие пары (х; у),
которые одновременно удовлетворяют уравнению р(х; у) = 0
и уравнению q(х; у) = 0, то говорят, что данные уравнения образуют систему уравнений
р(х; у) =0,
q(х; у) =0.

Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить,
что решений нет.

р(х; у; z) =0
q(х; у; z) =0
r(х; у; z) =0
Система трех уравнений с тремя неизвестными

Две системы уравнений называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или решений не имеют.

метод подстановки;
метод алгебраического сложения;
введения новых переменных.
Равносильные способы решения систем уравнений:

возведение в квадрат обеих частей уравнения;
умножение уравнений системы;
преобразования, приводящие к расширению области определения.
Проверка решений их подстановкой в исходную систему обязательна.
Неравносильные преобразования:

Пример 1. Решить систему уравнений
х + у + 2z = 4,
2х + у + z =1,
х + 2у + z =3.
Решение.
4х + 4у + 4z = 8;
х + у + z = 2;
х + (х + у + z) = 1;
х + 2 = 1;
х = –1;
(х + у+ z) + у = 3;
2 + у = 3;
у = 1;
(х + у + z) + z = 4;
2+ z = 4;
z = 2;
Ответ: (–1; 1; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений
х + у = 1,
log3х = log3(1 – у).
Решение.
log3х = log3х;
х = α (α > 0) ;
у = 1 – α;
Ответ: (α; 1 – α), α > 0.
у = 1 – x,
log3х = log3х;

Пример 3. Решить систему уравнений
Решение.
(1; 1), (–1; –1);