Ряды. Введение в математический анализ

План вебинара
Разбор ДЗ.
Ряды.
2.1) Сходимость (знакоположительные; знакопеременные ряды).
2.2) Ряды Тейлора и Маклорена.
2.3) Ряд Фурье.

Общие моменты
Важны и необходимое, и достаточное условие экстремума.
Локальный экстремум не обязательно совпадает с наибольшим или наименьшим значениями функции.

Разбор ДЗ (ФНП). Часть 2.

Минимум
Максимум
Иллюстрация задачи на максимум: https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+3-8x%2B6y+on+x%5E2%2By%5E2%3D36

Максимум
Минимум
Минимум
Максимум

Графики
Задача максимизации:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+2x%5E2%2B12xy%2B32y%5E2%2B15+on+x%5E2%2B16y%5E2%3D64
Задача минимизации:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+2x%5E2%2B12xy%2B32y%5E2%2B15+on+x%5E2%2B16y%5E2%3D64

Ряды

Числовой ряд – это бесконечная сумма

Сходимость ряда
Если ряд сходится, мы можем найти сумму ряда.
Т.е. сумма не растет до бесконечности, а складывается в определенное число.

Зачем нужны ряды
Способ исследовать и аппроксимировать функцию (приблизительно описать).

Знакочередующийся

Если необходимое условие выполняется,
то ряд может сходиться и нужны дополнительные исследования (достаточное условие).
Если необходимое условие не выполняется, то ряд точно не сходится.
Необходимые условия нужны, чтобы отсеять наверняка не сходящиеся ряды.
Но окончательный положительный ответ про сходимость по необходимому условию мы дать не можем.

Эталонные ряды

Эталонные ряды

Эталонные ряды

Доказательство расходимости гармонического ряда

Доказательство расходимости гармонического ряда

Признак=необходимое условие + достаточное условие

2-й признак сравнения
(предельный)

Сильный признак, но не всесильный:
q=1 => нужны дополнительные исследования.

Самый популярный признак, но
при q=1 нужны дополнительные исследования.

Ряд сходится
Ряд сходится

Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши. Пример.

Радикальный признак Коши. Пример.
0<1 -> ряд сходится

Признак Раабе
Источник: http://mathprofi.ru/slozhnye_ryady.html

Признак Раабе – пример.

Несобственные интегралы. Дополнение.
Дан несобственный интеграл:

Интегральный признак Коши
Данный ряд сходится одновременно с несобственным интегралом:
То есть, если такой интеграл можно посчитать, и он не равен бесконечности, ряд сходится.

Исследовать ряд с помощью интегрального признака Коши
Для этого нужно посчитать интеграл:

Исследовать ряд с помощью интегрального признака Коши
Для этого нужно посчитать интеграл:

Исследовать ряд с помощью интегрального признака Коши
Для этого нужно посчитать интеграл:
!замена пределов интегрирования при замене переменной!

Интеграл расходится, следовательно расходится и ряд.

Давайте исследуем и этот ряд

Для этого найдём интеграл

Для этого найдём интеграл
!замена пределов интегрирования при замене переменной!

Интеграл сходится, следовательно ряд тоже сходится.

Сходимость рядов: знакочередующиеся ряды

=

=
Используются для аппроксимации функции многочленами

Ряд Маклорена (ряд Тейлора в окрестности точки 0)

https://mipav.cit.nih.gov/pubwiki/index.php/Fast_Fourier_Transformation_(FFT)

Fast Fourier transformation (FFT).
Применяются в аудио формате .mp3.
До этого формата аудио дорожка хранилась в виде массива времени и значения амплитуды звуковой волны.
В формате .mp3 хранятся уже коэффициенты FFT. При этом существо сокращается место на хранение звуковой дорожки. Все современные мультимедийные форматы, особенно работающие в Интернете, как правило, построены на FFT.