Скалярное произведение векторов

α
О
Угол между векторами

300
300
1200
900
1800
00
Найдите угол между векторами

Критерии оценивания:
Умеет определять скалярного произведения векторов в пространстве;
Знает свойства скалярного произведения векторов в пространстве;
Применяет формулу скалярного произведения векторов в координатной форме при решении задач;

Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
Скалярным произведением двух векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
Определение

= 0
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Частный случай №1
= 0

Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.
cos
α
> 0
> 0
Частный случай №2

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.
cos
α
< 0
< 0
Частный случай №3

cos 00
1
cos1800
-1
Частный случай №4

cos
00
1
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Частный случай №5
2
2
2
2

Формула для нахождения скалярного произведения
через координаты векторов
= x1x2 + y1y2 + z1z2

Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5}
b {-1; 0; 7}

Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 7; 9}
b {-2; 4; 0}