Понятие множества, отношения

Математика и ее роль в жизни общества

Небольшое вступление о необходимости изучения математики
Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира

Часто студенты задают мне именно такие вопросы:
А для чего нужна математика? Для чего мы учим различные уравнения и теоремы? Мы же пользуемся математикой только в магазине при покупке продуктов. Почему мы ее изучаем с детского сада?

Думаю, что все вы нашли для себя ответы на эти вопросы. Вот некоторые из них:
Математика и режим дня
Семейный бюджет
Покупка продуктов
Приобретение одежды
Приготовление пищи
Ремонт дома
Экономика
Политика
Наука

При выполнении домашней контрольной работы, вы уже изучили такие темы, как
«Понятие геометрической величины»
«Понятие скалярной величины»
«Текстовая задача»
«Приближенные вычисления»
«Понятие систем счисления»
А сегодня изучаем тему, которая является фундаментом всей математики – это понятие множества

основатель теории множеств
Георг Кантор
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

Понятия теории множеств
Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:
Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Придумайте название для предметов и животных, собранных вместе:
КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК
НАБОР КАРАНДАШЕЙ
СТАЯ ПТИЦ
ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ
БУКЕТ ЦВЕТОВ
СТАДО КОРОВ

И это все множества.
Придумайте устно еще примеры множеств.

Множество – совокупность объектов, объединенных по какому – нибудь признаку.
Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.
Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, в, с, n, и т.д.
Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Например, на рисунке изображено множество четырехугольников.
А элементами являются все четырехугольники: трапеция, прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб.

На следующем слайде вам будет представлена таблица, которую вы должны заполнить. Постарайтесь выполнить это задание сами, а только потом проверить.

Множество четырехугольников
Пространственные тела
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
Квадраты чисел
Цифры десятичной системы счисления
10, 12, 14, 16 … 96, 98

Как видите, математика построена именно на понятии множества, хотя в школе вы может и не встречали это слово.
Повторим числовые множества из школьного курса математики. Для этого посмотрите видео по этой ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=EANzDoPnY_4

и так
Обозначения некоторых числовых множеств:
N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I - множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.

Стандартные обозначения
В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Для этого используются следующие символы:
Предмет принадлежит множеству –
Предмет не принадлежит множеству

Принадлежность элемента множеству можно записать символически и прочитать: , «элемент (объект) а принадлежит множеству А» или «а является элементом множества А»;
, «элемент (объект) а не принадлежит множеству А» или «а не является элементом множества А».

Стандартные обозначения

Прочитайте высказывания и укажите среди них верные
(из видео урока вы узнали о числовых множествах)

Рассмотрим
ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};
Множество состоит из таких элементов х, что х больше 5, но меньше 12:
{х | 5< х <12}
ВИДЫ МНОЖЕСТВ
Запись «множество А состоит из элементов 2,3,5,7,11,13» будем записывать так:
Эти множества будем называть
конечными, т.к. можно подсчитать их
элементы

{1; 4; 9; 16; 25; …};
{10; 20; 30; 40; 50; …};
Здесь мы не можем подсчитать элементы.
ВИДЫ МНОЖЕСТВ
еще примеры:
Такие множества будем называть бесконечными множествами

1. Множество людей на Солнце
2.Множество прямых углов равностороннего треугольника
3. Множество точек пересечения двух параллельных прямых
Что можете сказать о этих множествах? Нет элементов.
Это пустые множества- множества, не содержащее ни одного элемента. Обозначение:∅
ВИДЫ МНОЖЕСТВ
и еще примеры:

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:
а) множество чисел, кратных 13;
б) множество делителей числа 15;
в) множество деревьев в лесу;
г) множество натуральных чисел;
д) множество рек Иркутской области;
е) множество корней уравнения х + 3 = 11;
ж) множество решений неравенства х + 1 < 3.

Способы задания множеств
Перечислить все его элементы
Указать характеристическое свойство
Характерестическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит

Задача 1. Запишите натуральные числа, которые больше, чем 25 и меньше, чем 30.
Решение. Множество чисел задано характеристическим свойством «быть больше 25 и меньше 30». Требуется перечислить его элементы:

Задача 2. Укажите характеристическое свойство элементов множества
Решение. Множество чисел задано перечислением его элементов. Их характеристическое свойство: «быть двузначным числом и оканчиваться цифрой 7».

1. Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:
а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.
2. Охарактеризуйте множество А:
а) А = {1, 3, 5, 7, 9};
б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2};
в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

Отношения между множествами

Отношения между множествами
Если множества А и В имеют некоторые общие элементы, то говорят, что эти множества пересекаются
Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются
Если каждый элемент множества А является так же элементом множества В, то множество А является подмножеством множества В
Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Что бы было наглядно видно эти отношения, их можно изобразить с помощью кругов, которые называются кругами Эйлера.
На следующем слайде они расположены по порядку определений

Отношения между множествами

В каких отношениях находятся множества

Ответы
А и В пересекаются, есть общие элементы в,d;
А и С не пересекаются, нет общих элементов;
D является подмножеством множества А, т.к. Все элементы множества D есть в множестве А;
А и Е пересекаются, есть общие элементы в ,d;
В и С не пересекаются, нет общих элементов

В и D пересекаются, общий элемент d;
Ви Е равные, элементы совпадают;
С и D не пересекаются, не общих элементов;
С и Е тоже не пересекаются;
D и Е пересекаются, общий элемент d

Занятие 2.
Операции над множествами

Над числами в математике можно производить операции (сложение, вычитание, умножение, деление), так и над множествами можно производить операции, только они другие. Разберем четыре операции.
Сначала посмотрите видео по ссылке:
https://www.youtube.com/watch?v=cS65-hjsYM4

Теперь запишите все определения, сделайте геометрическую иллюстрацию и примеры на все операции.

Суммой или объединением произвольного конечного или бесконечного множества называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Объединение множеств обозначается
П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}.

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Пересечением любого конечного или бесконечного множества называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Пересечение множеств обозначается
П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Разностью множеств Х и У называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству Х и не принадлежат множеству У.
Если множество Х является подмножеством множества У, то дополнением множества Х до множества У называется множество, содержащее все элементы множества У, которые не принадлежат множеству Х
Пример: {1;2;3}\{2;3;4}={1}