Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
α
А
С
В
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
н
а
к
л
о
н
н
а
я
п
р
о
е
к
ц
я
прямая, проведенная через основание наклонной
1)
2)
3)
АС ⊥ α
m
BС ⊥ m
АB ⊥ m по ТТП
Два перпендикуляра есть устанавливаем третий
1) Найти перпендикуляр к плоскости

Теорема обратная теореме о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
α
А
С
В
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
н
а
к
л
о
н
н
а
я
п
р
о
е
к
ц
я
прямая, проведенная через основание наклонной
1)
2)
3)
АС ⊥ α
m
АB ⊥ m
BС ⊥ m по ™ обратной ТТП
Два перпендикуляра есть устанавливаем третий
1) Найти перпендикуляр к плоскости

ЗАДАЧА. Отрезок АК перпендикулярен плоскости ΔАВС и КВ ⊥ ВС. Докажите, что ΔАВС - прямоугольный.
А
К
В
С
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
п р о е к ц и я
н а к л о н н а я
1)
2)
3)
АК ⊥(АВС) по …
КВ ⊥ВС по …
Вывод!
АВ ⊥ВС по т. обр. ТТП
ΔАВС – прямоугольный, ч.т.д.
прямая, …
ТТП
обр ТТП

Изобразите отрезок, длина которого равна расстоянию от т. М до выделенной прямой. Ответ обоснуйте.
М
D
С
В
А
Читаем чертеж!
Анализируем дано!
Строим расстояние!
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
прямая, …
СМ ⊥(АВС) по …
СВ ⊥АВ по …
Делаем вывод!
МВ ⊥АВ по ТТП
ТТП
обр ТТП
н
а
к
л
о
н
н
а
я
п р о е к ц и я
МВ – искомое расстояние

Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте.
а
в
D
А
С
В
F
ABCD – прямоугольник, FB ⊥ (АВС).
О
ABCD – ромб, FB ⊥ (АВС).
ϕ
ϕ ≠ 90°
ϕ = 90°
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
н
а
к
л
о
н
н
а
я
ОВ - проекция
Прямые а и в не перпендикулярны
прямая, …
ТТП
обр ТТП

К
А
В
С
H
Перпендикулярны ли прямые а и в? Ответ обоснуйте.
BM и CF – медианы,
AH ⊥ (АВС).
M
F
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
н
а
к
л
о
н
н
а
я
прямая, …
п р о е к ц и я
Прямые а и в не перпендикулярны
в
а
BM и CF – высоты,
AH ⊥ (АВС).
К
АК ⊥СВ
по …
НК ⊥СВ по ТТП
Вывод!
АН ⊥(АВС)
по …
ϕ
ϕ ≠ 90°
ТТП
обр ТТП

К
М
С
А
В
ЗАДАЧА. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости правильного ΔАВС, со стороной 8√3. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если МС = 9.
МК ⊥АВ по построению
СК ⊥АВ по т. обр. ТТП
Вывод!
СМ ⊥(АВС) по …
9
т.к. ΔАВС – правиль- ный, то СК = …
12
15
из ΔМСК (∠С = 90°) по т. Пифагора
СМ = 9 = 3 ⋅ 3
СК = 12 = 3 ⋅ 4
МК = 3 ⋅ 5 = 15
ТТП
обр ТТП

ЗАДАЧА. К центру квадрата АВСD восстановлен перпенди-куляр ОК, равный 5. Найдите расстояние от точки К до стороны квадрата, если она равна 24.
K
C
B
O
A
D
МК ⊥АВ по построению
ОК ⊥(АВС) по …
ОМ ⊥АВ по т. обр. ТТП
Вывод!
М
24
5
A
B
O
М
12
13
24

ЗАДАЧА. Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости ΔАВС, где ∠С = 90°, АВ = 17, АС = 8. Найдите расстояние от точки М до прямой АС, если МВ = 20.
В
А
С
М
20
17
8
15
25
Дано:
Найти:
ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 17,
АС = 8, ВМ ⊥(АВС).
Расстояние от т. М до АС.
Решение:
МК ⊥АС по построению
ВМ ⊥(АВС) по …
НО ВС ⊥АС, что …
К
Вывод!
ВК ⊥АС по т. обр. ТТП
⇒ т.К совпадает с т. С и искомое расстояние МС
ЗАКОНЧИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАЧА. В ΔАВС, АС = СВ = 10, ∠А = 30°,ВК - перпендикуляр к плоскости треугольника и равен 5√6. Найдите расстоя- ние от точки К до АС.
В
М
К
С
А
10
30°
Куда проектируется основание перпендикуляра из т. К на прямую АС?
120°
КМ ⊥АС по …
ВК ⊥(АВС) по …
Вывод!
ВМ ⊥АС по т. обр. ТТП
10
5
15

ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстоя- ние равное 2√3, и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции.
B
O
A
D
М
С
K
⇒ т.М проектируется в центр вписанной в трапецию окружности
ОМ ⊥АD по …
ОК ⊥(АВС) по …
Вывод!
ВМ ⊥АС по ТТП
H
2r
4r
OM = 2
KM = 4

ЗАДАЧА. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстоя- ние равное 2√3, и находится на равном расстоянии от ее сторон. Найдите расстояние от точки М до сторон трапеции.
⇒ т.М проектируется в центр вписанной в трапецию окружности
в
в
р
е
е
а
р
а
в
в
е
е
р
р
а
а
+
+
+
+
+
+
=

ЗАДАЧА. Отрезок СН перпендикулярен плоскости ΔАВС, где, АВ = 21, АС = 10, ВС = 17. Найдите расстояние от точки Н до прямой АВ, если СН = 15. Изобразите перпендикуляр из точки Н к прямой АВ.
А
В
С
Н
10
17
21
15
НК ⊥АВ по …
СН ⊥(АВС) по …
СК ⊥АВ по ТТП
К
СК = ?
8
17
т.к. АВ = 21 – большая сторона, то т. К ∈ АВ, где К лежит между точками А и В

По известным сторонам треугольника найдите высоту.
а
с
в
10
17
21