Функции нескольких переменных

Пусть непрерывная функция y от x задана неявно уравнением:
Производная от функции, заданной неявно
где F(x;y), F’x, F’y – непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (x; y); кроме того, в этой точке F’y не равно нулю. Тогда функция у от х имеет производную:
2/14
Теорема
(1)
Найти производную неявно заданной функции
По формуле (1) получаем:

Рассмотрим теперь уравнение вида:
Производная от функции, заданной неявно
Если каждой паре x, y из некоторой области соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению (2), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций z от x, y. Частные производные функции z по x, y находятся по формулам:
3/14
(3)
Найти частные производные функции z по x и y
По формулам (3) получаем:
(2)

Пусть имеем функцию двух переменных
Частные производные различных порядков
Частные производные z ’x, z ’y также являются функциями двух переменных x и y. Поэтому от них можно снова находить частные производные.
4/14
Частных производных от ФДП четыре, так как каждую из функций z ’x, z ’y можно дифференцировать по x и по y.
Вторые частные производные обозначаются так:
функция z дифференцируется последовательно два раза по x
функция z дифференцируется последовательно два раза по у
функция z сначала дифференцируется по х , а потом результат дифференцируется по y.
функция z сначала дифференцируется по у , а потом результат дифференцируется по х.

Частные производные различных порядков
5/14
Найти частные производные второго порядка

Частные производные различных порядков
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по y.
6/14
функция z сначала дифференцируется p раз по х , а потом результат дифференцируется n - p раз по y.
Частной производной n – ого порядка называется первая производная от производной n -1 порядка, например:
Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично:
Найти

Частные производные различных порядков
Если функция z = f(x; y) и ее частные производные f ’x ; f ’y ;f ’’xy ; f ’’yx определены и непрерывны в точке М(x; y) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке:
7/14
Теорема
Следствие
Если частные производные
непрерывны, то

Пусть в пространстве имеется область D , в которой задана функция трех переменных u = f(x; y; z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.
Производная по направлению
M
Проведем из точки М вектор s, направляющие косинусы которого равны:
На векторе s на расстояние Δs от его начала рассмотрим точку
M1(x+Δх; y+Δy; z+Δz)
Таким образом,
Δx
8/14
M1
Δy
Δz
Будем предполагать, что функция u непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D.
Возьмем в области D точку M(x; y; z).

Аналогично функции двух переменных, приращение функции
u = f(x; y; z) можно представить:
Производная по направлению
9/14
M
Δx
M1
Δy
Δz
Разделим все члены равенства (4) на Δs:
(4)
Очевидно, что:
α
β
γ
(5)

Предел отношения
Производная по направлению
10/14
Таким образом, переходя к пределу в равенстве (5), получим:
при стремлении Δs к нулю называется
производной от функции u = f(x; y; z) в точке (x; y; z) по направлению вектора s и обозначается:
(6)
Производная по направлению s характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М.
Если
функция в направлении s
возрастает
убывает
Величина представляет собой мгновенную скорость
изменения функции в направлении s

Производная по направлению
11/14
Дана функция
Найти производную от функции u в точке М(1; 1; 1) по направлению вектора
Находим направляющие косинусы вектора s:
Найдем частные производные в точке М:
По формуле (6) получим:

В каком направлении имеет наибольшее значение?
Градиент
Можно заметить, что правая часть равенства (6) представляет собой скалярное произведение единичного вектора
12/14
Это направление указывает вектор, который называется градиентом скалярного поля.
и некоторого вектора
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u = f(x; y; z) в точке (x; y; z) , называют градиентом функции и обозначают:

Отметим, что grad u есть векторная величина. Говорят, что скалярное поле U порождает векторное поле градиента. Теперь равенство (6) можно записать так:
Градиент
13/14
или
Из формулы (8) следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда cos φ = 1, то есть при φ = 0
(7)
(8)
угол между направлением градиента и вектором s
s
grad u
е
φ
Таким образом, градиент указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. В этом состоит физический смысл градиента.
Наибольшая скорость изменения функции U в точке M равна:
(9)