Функции нескольких переменных

Содержание

Слайд 2

Пусть непрерывная функция y от x задана неявно уравнением:

Производная от функции, заданной

Пусть непрерывная функция y от x задана неявно уравнением: Производная от функции,
неявно

где F(x;y), F’x, F’y – непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (x; y); кроме того, в этой точке F’y не равно нулю. Тогда функция у от х имеет производную:

2/14

Теорема

(1)

Найти производную неявно заданной функции

По формуле (1) получаем:

Слайд 3

Рассмотрим теперь уравнение вида:

Производная от функции, заданной неявно

Если каждой паре x, y

Рассмотрим теперь уравнение вида: Производная от функции, заданной неявно Если каждой паре
из некоторой области соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению (2), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций z от x, y. Частные производные функции z по x, y находятся по формулам:

3/14

(3)

Найти частные производные функции z по x и y

По формулам (3) получаем:

(2)

Слайд 4

Пусть имеем функцию двух переменных

Частные производные различных порядков

Частные производные z ’x, z

Пусть имеем функцию двух переменных Частные производные различных порядков Частные производные z
’y также являются функциями двух переменных x и y. Поэтому от них можно снова находить частные производные.

4/14

Частных производных от ФДП четыре, так как каждую из функций z ’x, z ’y можно дифференцировать по x и по y.

Вторые частные производные обозначаются так:

функция z дифференцируется последовательно два раза по x

функция z дифференцируется последовательно два раза по у

функция z сначала дифференцируется по х , а потом результат дифференцируется по y.

функция z сначала дифференцируется по у , а потом результат дифференцируется по х.

Слайд 5

Частные производные различных порядков

5/14

Найти частные производные второго порядка

Частные производные различных порядков 5/14 Найти частные производные второго порядка

Слайд 6

Частные производные различных порядков

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х,

Частные производные различных порядков Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по
так и по y.

6/14

функция z сначала дифференцируется p раз по х , а потом результат дифференцируется n - p раз по y.

Частной производной n – ого порядка называется первая производная от производной n -1 порядка, например:

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично:

Найти

Слайд 7

Частные производные различных порядков

Если функция z = f(x; y) и ее частные

Частные производные различных порядков Если функция z = f(x; y) и ее
производные f ’x ; f ’y ;f ’’xy ; f ’’yx определены и непрерывны в точке М(x; y) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке:

7/14

Теорема

Следствие

Если частные производные

непрерывны, то

Слайд 8

Пусть в пространстве имеется область D , в которой задана функция трех

Пусть в пространстве имеется область D , в которой задана функция трех
переменных u = f(x; y; z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.

Производная по направлению

M

Проведем из точки М вектор s, направляющие косинусы которого равны:

На векторе s на расстояние Δs от его начала рассмотрим точку
M1(x+Δх; y+Δy; z+Δz)

Таким образом,

Δx

8/14

M1

Δy

Δz

Будем предполагать, что функция u непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D.

Возьмем в области D точку M(x; y; z).

Слайд 9

Аналогично функции двух переменных, приращение функции
u = f(x; y; z) можно

Аналогично функции двух переменных, приращение функции u = f(x; y; z) можно
представить:

Производная по направлению

9/14

M

Δx

M1

Δy

Δz

Разделим все члены равенства (4) на Δs:

(4)

Очевидно, что:

α

β

γ

(5)

Слайд 10

Предел отношения

Производная по направлению

10/14

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (5),

Предел отношения Производная по направлению 10/14 Таким образом, переходя к пределу в
получим:

при стремлении Δs к нулю называется

производной от функции u = f(x; y; z) в точке (x; y; z) по направлению вектора s и обозначается:

(6)

Производная по направлению s характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М.

Если

функция в направлении s

возрастает

убывает

Величина представляет собой мгновенную скорость
изменения функции в направлении s

Слайд 11

Производная по направлению

11/14

Дана функция

Найти производную от функции u в точке М(1; 1;

Производная по направлению 11/14 Дана функция Найти производную от функции u в
1) по направлению вектора

Находим направляющие косинусы вектора s:

Найдем частные производные в точке М:

По формуле (6) получим:

Слайд 12

В каком направлении имеет наибольшее значение?

Градиент

Можно заметить, что правая часть равенства (6)

В каком направлении имеет наибольшее значение? Градиент Можно заметить, что правая часть
представляет собой скалярное произведение единичного вектора

12/14

Это направление указывает вектор, который называется градиентом скалярного поля.

и некоторого вектора

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u = f(x; y; z) в точке (x; y; z) , называют градиентом функции и обозначают:

Слайд 13

Отметим, что grad u есть векторная величина. Говорят, что скалярное поле U

Отметим, что grad u есть векторная величина. Говорят, что скалярное поле U
порождает векторное поле градиента. Теперь равенство (6) можно записать так:

Градиент

13/14

или

Из формулы (8) следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда cos φ = 1, то есть при φ = 0

(7)

(8)

угол между направлением градиента и вектором s

s

grad u

е

φ

Таким образом, градиент указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. В этом состоит физический смысл градиента.

Наибольшая скорость изменения функции U в точке M равна:

(9)

Имя файла: Функции-нескольких-переменных.pptx
Количество просмотров: 44
Количество скачиваний: 0