Уравнение сферы

Определение сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).
Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.
т. О – центр сферы
О
D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.
D = 2R
шар
R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

Шар
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Уравнение окружности
С(х0;у0)
М(х;у)
х
у
О
следовательно уравнение
окружности имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2
Зададим прямоугольную систему координат Оxy
Построим окружность c центром в т. С и радиусом r
Расстояние от произвольной т. М (х;у) до т.С вычисляется по формуле:
МС = (x – x0)2 + (y – y0)2
МС = r , или МС2 = r2

Задача 1.
Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.
Решение
так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
ур. сферы

Уравнение сферы
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
х
у
z
М(х;у;z)
R
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz
Построим сферу c центром в т. С и радиусом R
МС = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2
МС = R , или МС2 = R2
C(x0;y0;z0)
следовательно уравнение
сферы имеет вид:

Взаимное расположение окружности и прямой
r
d
Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.
d= r
d> r
Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.
Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Возможны 3 случая
Сфера и плоск

Взаимное расположение сферы и плоскости
В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…
Введем прямоугольную систему координат Oxyz
Построим плоскость α, сов-падающую с плоскостью Оху
Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0;d), где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

Сечение шара плоскостью есть круг.
r
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 1 случай
d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r.
r = R2 - d2
М
С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 2 случай

d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 3 случай

Задача 2.
Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.
Дано:
Шар с центром в т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм
Найти: rсеч = ?
Решение:
Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600 отсюда rсеч = 40 дм
Ответ: rсеч = 40 дм
r