Теория вероятностей и математическая статистика

План лекции
Множества: понятия и операции над множествами
Основные принципы комбинаторики (правила сложения и умножения)
принцип Дирихле

Лаплас: "...теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению."

Элементы теории множеств
Множество – это совокупность некоторых предметов (объектов), объединенных в одно целое по какому-либо признаку
Предметы, их которых состоит множество называются его элементами

Способы задания множеств
Перечисление его элементов
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}
Указание свойства, по которому можно судить принадлежит элемент множеству или не принадлежит
А = {х|P(х)},
где P(x) — характеристическое свойство

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством (∅).
Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Подмножества
Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то
А – подмножество множества В (А ⊂ B)
Если А ⊂ B и В ⊂ А, то А = В
Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅⊂ А
Каждое множество есть подмножество самого себя: А ⊂ А
Диаграммы Эйлера-Венна

Объединение (сумма) множеств
Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В
С = A ∪ B
A + B = B + A;
(A+B) + C = A+(B+C);
A + A = A;
A+Ω = Ω;
A + ∅ = A;
A + A = Ω.

Пересечение (произведение) множеств
Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В (множество общих элементов).
A · B = B · A;
A · (B·C) = (A·B) · C;
A · A = A;
A ·Ω = A;
A · ∅ = ∅;
A · A = ∅
A ∩ B = {х | х ∈ A и х ∈ B}

Разность множеств
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В.
С = A \ B = {х | х ∈ A и х ∉ B}
Если В ⊂ А, то В \ А = ∅

ОСНОВНЫЕ
ПРИНЦИПЫ КОМБИНАТОРИКИ

Определение
Комбинаторика или теория конечных множеств – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

1. Правило сложения
Пусть есть два множества объектов:
А = {a1, a2, … an} и B = {b1, b2, … bm}
Количество способов выбрать один объект из A или один объект из B равно суммарному количеству объектов в этих исходных множествах.

1. Правило сложения.
Пример 1
А = {а, б, ..., ё, …, я} |A| = 33
B = {0, 1, …, 9} |B| = 10
Найдите количество способов либо выбрать одну букву, либо выбрать одну цифру
* Модуль множества – это мощность этого множества, т.е. количество элементов в нем

2. Правило умножения
Пусть А = {a1, a2, … an}, B = {b1, b2, … bm}
Количество способов выбрать, выбрать сперва ровно один объект из множества А, а вслед за ним ровно один объект из множества В, а вслед за ним ровно один объект из В, равно n умножить на m.

2. Правило умножения
Пример 2
А = {а, б, ..., ё, …, я} |A| = 33
B = {0, 1, …, 9} |B| = 10
последовательности, которые можно составить из двух объектов, их получается 33*10 штук.

Следствие из правила умножения
Пусть у нас есть множества А1, ... Аk, каждое из которых состоит из некоторого числа объектов. |Ai| = ni.
Если требуется осуществить последовательно какие-либо k действий, причем первое можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами и т.д., то выполнить хотя бы одно из этих действий можно n1*n2*…*nk способами

3. Принцип Дирихле
Есть n ящиков и n+1 кролик. Как ни рассаживай кроликов по ящикам найдется ящик, в котором окажутся, хотя бы, то есть, как минимум, 2 кролика.