Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача и теорема Коши. Общее и частное решения
Содержание
- 2. Дифференциальные уравнения первого порядка § 1. Определение дифференциальных уравне-ний. Понятие решения дифференциального уравнения. Определение 1. Уравнение
- 3. Наличие хотя бы одной производной обязательно. Определение 2. Функция y = ϕ(x), n раз дифференцируемая на
- 4. Определение 3. Порядком дифференциального уравнения (1) называют порядок наивысшей производной , входящей в уравнение (1). Пример:
- 5. Найдем первообразную: y = - x2/2 + c. Это выражение дает все решения дифференциального уравнения: y′
- 6. y = - x2/2 + c. с = 2 с = 1 с = 0 с
- 7. Для выделения из множества решений дифференциального уравнения единственного, ставится задача Коши. Суть задачи Коши сводится к
- 8. Пример: Решить задачу Коши. т.е. при условии, что y(1) = 1. Решение. Находим первообразную: y =
- 9. Задача Коши не всегда имеет единственное решение. Единственное решение существует тогда и только тогда, когда выполняются
- 10. Геометрический смысл теоремы Коши. Если выполняется условие теоремы в окрестности Ω точки M(x0,y0), то через точку
- 11. Определение 6. Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого нарушается единственность называется особым решением дифференциального уравнения.
- 12. § 2. Типы дифференциальных уравнений первого порядка. y′ = f (x) – простейший тип. Решение его:
- 13. Пример: xdx = y2dy. Найти общий интеграл этого дифференциального уравнения. Решение. 3x2 – 2y3 = 6c
- 14. § 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Определение 7. Уравнение вида: f1(x)ϕ1(y)dx = f2(x)ϕ2(y)dy (3) или
- 15. Уравнение (3) сводится к уравнению с разделенными переменными. Действительно. Разделим в (3) обе части на f2(x)ϕ1(y)
- 16. § 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Предварительное замечание: Определение 8. Функция f (x,y) называется однородной
- 17. Доказательство. ∀p ≠ 0 рассмотрим: Ч.т.д. Теорема 2. Однородная функция нулевого измерения зависит лишь от отношения
- 18. Определение 9. Уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (5) называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка
- 19. функция нулевого измерения и согласно теореме 2: (6) однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения
- 20. Продифференцируем его: Подставим полученное выражение в (6): В полученном уравнении легко разделяются переменные: Получили уравнение с
- 21. § 5. Уравнения, приводящиеся к однородному. 1) Случай: если с = с1 = 0, то Получили
- 22. 2) Случай: если по крайней мере одно из чисел с или с1 ≠ 0, и тогда
- 23. Покажем это: dx = dX dy = dY. Подставим в исходное уравнение: = 0 = 0
- 24. 3) Случай: если одно из чисел с или с1 ≠ 0, а тогда ab1 = a1b
- 25. Покажем это: Подставим все в исходное уравнение: Получили общий интеграл.
- 26. § 6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Определение 10. Уравнение вида + P(x)y = Q(x) (7)
- 27. y(x) = u(x)⋅v(x) где одну функцию можно взять произвольно с таким расчетом, чтобы уравнение упростилось, а
- 28. Подберем функцию u так, чтобы: Для этого в качестве u возьмем какое-либо решение уравнения: Подставим полученное
- 29. Общее решение: y = u⋅v = Замечание: Уравнение вида: + P(y)x = Q(y) относительно x(y). Его
- 30. § 7. Уравнение Бернулли. Определение 11. Уравнение вида + P(x)y = Q(x)yα (8) где P(x) и
- 32. Скачать презентацию